دينامية

الديناميات هي فرع من الرياضيات التطبيقية (وخاصة الميكانيكا الكلاسيكية) المعنية بدراسة القوى وعزم الدوران وتأثيرها على الحركة ، في مقابل الكينماتيكا ، التي تدرس حركة الأجسام دون الرجوع إلى هذه القوى. حدد إسحاق نيوتن القوانين الفيزيائية الأساسية التي تحكم الديناميكيات في الفيزياء ، وخاصة قانونه الثاني للحركة.

تأريخ
واحد من أول تأملات حول أسباب الحركة إلى الفيلسوف اليوناني أرسطو. والتي حددت الحركة ، الديناميكية ، على النحو التالي:.:

فعل التحقيق ، من القدرة أو إمكانية أن تكون السلطة ، في حين يتم تحديثها.

من ناحية أخرى ، خلافاً للنهج الحالي ، يعكس أرسطو دراسة الحركيات والديناميكيات ، ويدرس أولاً أسباب الحركة ثم حركة الأجسام. هذا النهج أعاق التقدم في معرفة ظاهرة الحركة حتى ، في المقام الأول ، القديس ألبرت الكبير ، الذي كان هو الذي أشار إلى هذه الصعوبة ، وفي النهاية إلى غاليليو غاليلي وإسحاق نيوتن. في الواقع ، قدم توماس برادوردني ، في عام 1328 ، في كتابه velibititum de proportionibus velocitatum في القانون الرياضي motibusa الذي ربط السرعة مع نسبة الدوافع إلى قوى المقاومة. أثر عمله على ديناميكية العصور الوسطى على مدى قرنين ، ولكن ، لما سمي حادث رياضي في تعريف “الزيادة” ، تم إهمال عمله ولم يُعترف به تاريخياً في أيامه.

أدت تجارب غاليليو على تسارع الجثث بشكل متساوٍ إلى نيوتن إلى صياغة قوانينه الأساسية للحركة ، والتي قدمها في عمله الرئيسي Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

يعتقد العلماء الحاليون أن قوانين نيوتن تعطي الإجابات الصحيحة لمعظم المشاكل المتعلقة بالأجسام المتحركة ، ولكن هناك استثناءات. على وجه الخصوص ، لا تكون معادلات وصف الحركة مناسبة عندما ينتقل الجسم بسرعات عالية فيما يتعلق بسرعة الضوء أو عندما تكون الأجسام صغيرة للغاية في الحجم مماثلة للأحجام.

المبادئ
بشكل عام ، يدرس الباحثون المشاركون في الديناميات كيف يمكن أن يتطور نظام مادي أو يتغير بمرور الوقت ويدرس أسباب تلك التغييرات. بالإضافة إلى ذلك ، وضع نيوتن القوانين الفيزيائية الأساسية التي تحكم الديناميكيات في الفيزياء. من خلال دراسة نظام الميكانيك ، يمكن فهم الديناميات. على وجه الخصوص ، ترتبط الديناميكية في الغالب بقانون الحركة الثاني في نيوتن. ومع ذلك ، تؤخذ قوانين الحركة الثلاثة جميعها في الحسبان لأنها مترابطة في أي ملاحظة أو تجربة معينة.

ديناميكيات الخطية والدوران
تندرج دراسة الديناميكا تحت فئتين: الخطية والدورانية. وتتعلق الديناميكيات الخطية بالأجسام المتحركة في خط ما وتتضمن كميات مثل القوة والكتلة / الجمود والإزاحة (بوحدة المسافة) والسرعة (المسافة لكل وحدة زمنية) والتسارع (المسافة لكل وحدة من الزمان) والزخم (الكتلة الزمنية وحدة السرعة). وتتصل ديناميكية الدوران بالأشياء التي تدور أو تتحرك في مسار منحني وتتضمن كميات مثل عزم الدوران ، أو عزم القصور الذاتي / الجمود الدوراني ، أو الإزاحة الزاوي (بالراديان أو أقل في كثير من الأحيان ، درجات) ، السرعة الزاوية (راديان لكل وحدة زمنية) ، الزاوي التسارع (راديان لكل وحدة من الوقت مربعة) والزخم الزاوي (لحظة من أوقات القصور الذاتي وحدة السرعة الزاوية). في كثير من الأحيان ، تظهر الكائنات الحركة الخطية والتناوب.

بالنسبة للكهرومغناطيسية الكلاسيكية ، تصف معادلات ماكسويل الحركيات. تم وصف ديناميكيات الأنظمة الكلاسيكية التي تنطوي على كل من الميكانيكا والكهرومغناطيسية من خلال الجمع بين قوانين نيوتن ومعادلات ماكسويل وقوة لورنتز.

القوة
من نيوتن ، يمكن تعريف القوة بأنها مجهود أو ضغط يمكن أن يؤدي إلى تسريع الجسم. يستخدم مفهوم القوة لوصف التأثير الذي يؤدي إلى تسريع الجسم الحر (الكائن). يمكن أن يكون الدفع أو السحب ، مما يؤدي إلى تغيير الكائن ، أو سرعة جديدة ، أو تشوه مؤقتًا أو دائمًا. بشكل عام ، تسبب القوة تغير حالة حركة الكائن.

قوانين
نيوتن وصف نيوتن القوة بأنها القدرة على التسبب في تسارع الكتلة. يمكن تلخيص قوانينه الثلاثة على النحو التالي:

القانون الأول: إذا لم تكن هناك قوة صافية على جسم ما ، فإن سرعته ثابتة. إما أن يكون الكائن في حالة استراحة (إذا كانت سرعته تساوي الصفر) ، أو يتحرك بسرعة ثابتة في اتجاه واحد.
القانون الثاني: معدل تغير الزخم الخطي P للشيء يساوي صافي القوة F net ، أي d P / dt = F net.
القانون الثالث: عندما يمارس الجسم الأول قوة F1 على جسم ثانٍ ، يمارس الجسم الثاني في نفس الوقت قوة F 2 = – F 1 على الجسم الأول. وهذا يعني أن F 1 و F 2 متساويان في الحجم والعكس في الاتجاه.

قوانين نيوتن للحركة صالحة فقط في إطار مرجعي بالقصور الذاتي.

الحساب في الديناميات
في الميكانيكا الكلاسيكية والميكانيكية النسبية ، من خلال مفاهيم النزوح ، السرعة والتسارع ، من الممكن وصف حركات الجسم أو الجسم دون النظر في كيفية إنتاجه ، وهو علم يعرف باسم الحركة الحركية. على العكس ، يتعامل الميكانيكيون مع دراسة حركة الأجسام الخاضعة لتحرك القوات. في النظم الكمية تتطلب الديناميكيات مقاربة مختلفة بسبب تبعات مبدأ عدم اليقين.

يعتمد الحساب الديناميكي على نهج المعادلة للحركة وتكاملها. بالنسبة للمشاكل البسيطة للغاية ، يتم استخدام معادلات الميكانيكا النيوتونية بمساعدة قوانين الحماية. في الميكانيكا الكلاسيكية والنسبية ، فإن المعادلة الأساسية للديناميكيات هي القانون الثاني لنيوتن (أو قانون نيوتن – أويلر) في الشكل:

حيث F هو مجموع القوى و p مقدار الحركة. المعادلة أعلاه صالحة لجسيمات صلبة أو صلبة ، لوسيطة مستمرة يمكنك كتابة معادلة تستند إليها يجب أن تتحقق محليًا. من الناحية النظرية النسبية العامة ، ليس من السهل تحديد مفهوم القوة الناتجة عن انحناء زمن الفضاء. في ميكانيكا الكم غير النسبية ، إذا كان النظام محافظًا فإن المعادلة الأساسية هي معادلة شرودنغر:

قوانين
الحفظ يمكن صياغة قوانين الحفظ من حيث النظريات التي تحدد الظروف الملموسة “الكمية المحفوظة” (أي أنها تظل ثابتة في القيمة بمرور الوقت مع تحرك النظام أو تغيره بمرور الوقت). بالإضافة إلى قانون الحفاظ على الطاقة ، تأخذ قوانين الحفظ المهمة الأخرى شكل نظريات ناقلة. هذه النظريات هي:

إن نظرية الزخم ، التي تتطلب لنظام من جسيمات النقطة ، تتطلب أن تعتمد قوى الجسيمات فقط على المسافة بينها ويتم توجيهها وفقًا للخط الذي ينضم إليها. في ميكانيكا وسائل الإعلام والميكانيكا المتواصلة للصلبة الصلبة ، يمكن صياغة نظريات ناقلة للحفاظ على الزخم.

تنص نظرية اللحظة الحركية على أنه في ظل ظروف مشابهة للنظرية المتجهية السابقة ، فإن مجموع لحظات القوة بالنسبة للمحور يساوي التغير الزمني للعزم الزاوي. على وجه الخصوص ، Lagrangian للنظام.

وتؤسس هذه النظريات تحت أي ظروف يتم الحفاظ على الطاقة أو كمية الحركة أو الحركة الحركية. تسمح قوانين الحفظ هذه في بعض الأحيان بإيجاد طريقة أبسط لتطور الحالة المادية للنظام ، دون الحاجة إلى دمج المعادلات التفاضلية للحركة بشكل مباشر.

معادلات الحركة
هناك عدة طرق لاقتراح معادلات الحركة التي تسمح بالتنبؤ بالتطور مع مرور الوقت لنظام ميكانيكي يعتمد على الظروف الأولية وقوى التمثيل. في الميكانيكا الكلاسيكية هناك العديد من الصيغ الممكنة لاقتراح المعادلات:

الميكانيكا النيوتونية التي تلجأ إلى كتابة المعادلات التفاضلية العادية مباشرة من الدرجة الثانية من حيث القوى والإحداثيات الديكارتية. هذا النظام يؤدي إلى المعادلات التي يصعب دمجها بالوسائل الأولية ويستخدم فقط في مشاكل بسيطة للغاية ، وعادة ما تستخدم أنظمة مرجعية بالقصور الذاتي.

ميكانيكا لاغرانج ، تستخدم هذه الطريقة أيضًا معادلات تفاضلية عادية من الدرجة الثانية ، ولكنها تسمح باستخدام إحداثيات عامة تمامًا ، تُسمى الإحداثيات المعممة ، والتي تكون أكثر ملاءمةً لهيكلية المشكلة. علاوة على ذلك ، فإن المعادلات صالحة في أي نظام مرجعي ، سواء كان ذلك بالقصور الذاتي أم لا. بالإضافة إلى الحصول على أنظمة أكثر سهولة ، ونظرية Noether وتنسيق التحولات ، يمكننا أن نجد تكاملات الحركة ، وتسمى أيضا قوانين الحفظ ، وببساطة أكثر من النهج النيوتوني.
الميكانيكا في هاميلتون مشابهة للميكانيكية السابقة ، لكن معادلات الحركة هي معادلات تفاضلية عادية من الدرجة الأولى. بالإضافة إلى ذلك ، فإن نطاق تحويلات الإحداثيات المسموح بها أوسع بكثير من الميكانيكا اللاغرانية ، مما يجعل من الأسهل العثور على تكاملات الحركة والكميات المحفوظة.

طريقة هاملتون-جاكوبي هي طريقة تعتمد على حل المعادلة التفاضلية في المشتقات الجزئية بواسطة طريقة فصل المتغيرات ، وهي أبسط الوسائل عندما تكون مجموعة مناسبة من تكاملات الحركة معروفة.

في الميكانيكا النسبية ، يمكن استخدام الطرق الثلاثة الأخيرة ، بالإضافة إلى مقاربة مباشرة لمشكلات بسيطة تشبه العديد من أساليب الميكانيكا النيوتونية. وبالمثل ، فإن آليات الوسائط المتواصلة تعترف بمقاربات lagrangian و Hamiltonton ، على الرغم من أن الشكلية الكامنة هي نظام كلاسيكي أو نسبي ، إلا أنها أكثر تعقيدًا من حالة الجسيمات الصلبة والنظم الصلبة (تمتلك الأخيرة عددًا محدودًا من الدرجات). الحرية ، على عكس المتوسط ​​المستمر). أخيراً ، تتطلب ميكانيكا الكم ، غير النسبية والنسبية ، شكلاً رياضيياً أكثر تعقيداً بشكل ملحوظ يتضمن عادة استخدام فضاء هيلبرت حتى للأنظمة ذات العدد المحدود من درجات الحرية.

ديناميات الأنظمة الميكانيكية يوجد
في الفيزياء نوعان مهمان من النظم الفيزيائية: نظم الجسيمات المحدودة والمجالات. يمكن وصف التطور في زمن الأول من خلال مجموعة محدودة من المعادلات التفاضلية العادية ، وهذا هو السبب في أنه يقال أن لديها عدد محدود من درجات الحرية. من ناحية أخرى ، يتطلب التطور في زمن الحقول مجموعة من المعادلات المعقدة. في المشتقات الجزئية ، وبمعنى غير رسمي معين ، يتصرفون مثل نظام الجسيمات مع عدد لانهائي من درجات الحرية.

معظم الأنظمة الميكانيكية من النوع الأول ، على الرغم من وجود أنظمة ميكانيكية يتم وصفها بشكل أكثر بساطة كمجالات ، كما هو الحال مع السوائل أو المواد الصلبة القابلة للتشوه. ويحدث أيضًا أن بعض الأنظمة الميكانيكية التي تتكون بشكل مثالي من عدد لا نهائي من نقاط المواد ، مثل المواد الصلبة الصلبة ، يمكن وصفها بعدد محدود من درجات الحرية.

ديناميات الجسيم
ديناميات النقطة المادية هي جزء من الميكانيكا النيوتونية التي يتم فيها تحليل الأنظمة كنظم الجسيمات النقطة ويتم ممارسة القوى الآنية على مسافة.

في نظرية النسبية لا يمكن معالجة مجموعة من الجسيمات المشحونة في التفاعل المتبادل ، ببساطة باستخدام مواضع الجسيمات في كل لحظة ، لأنه في الإطار المذكور يعتبر أن الإجراءات البعيدة تنتهك السببية المادية. في هذه الظروف تعتمد القوة على جسيم ، بسبب الأخرى ، على المواضع السابقة لنفسها.

ديناميات المادة الصلبة الصلبة
إن ميكانيكا مادة صلبة جامدة هي التي تدرس الحركة وتوازن المواد الصلبة الصلبة وتجاهل تشوهاتها. ولذلك ، فإن نموذجًا رياضيًا مفيدًا لدراسة جزء من آليات المواد الصلبة ، نظرًا لأن جميع المواد الصلبة الحقيقية قابلة للتشوه. تُفهم المادة الصلبة الصلبة على أنها مجموعة من نقاط الفضاء التي تتحرك بطريقة لا تتغير فيها المسافات بينها ، أياً كانت قوة التمثيل (رياضياً ، تُعطى حركة مادة صلبة جامدة بواسطة مجموعة أحادية غير متحدة من متغيرات القياس).

ديناميكيات الوسائط المستمرة ونظرية المجال
في الفيزياء هناك كيانات أخرى مثل الوسائط المستمرة (المواد الصلبة المتشكلة والسائلة) أو الحقول (الجاذبية ، الكهرومغناطيسية ، إلخ) التي لا يمكن وصفها بعدد محدود من الإحداثيات التي تميز حالة النظام . بشكل عام ، تكون الوظائف المحددة مطلوبة على نطاق أو مجال من أربعة نطاقات. تتطلب معالجة الميكانيكا الكلاسيكية والميكانيكية النسبية للوسائط المستمرة استخدام المعادلات التفاضلية في المشتقات الجزئية ، مما يسبب صعوبات تحليلية أكثر وضوحًا من تلك الموجودة في الأنظمة ذات العدد المحدود من الإحداثيات أو درجات الحرية (والتي غالباً ما يمكن أن تكون تعامل كنظم معادلات تفاضلية عادية).

المفاهيم المتعلقة بالديناميات

القصور
الذاتي القصور الذاتي هو ملك للجثث بعدم تعديل حالة الراحة أو الحركة المنتظمة ، إذا لم تتأثر بأجسام أخرى أو إذا تم تعويض عمل الهيئات الأخرى.

يقال في الفيزياء أن النظام لديه الكثير من القصور الذاتي عندما يكون من الأصعب تحقيق تغيير في الحالة المادية له. الاستخدامات الأكثر شيوعا في الفيزياء هي الجمود الميكانيكي والجمود الحراري. أولها يظهر في الميكانيكا وهو مقياس لصعوبة تغيير حالة الحركة أو بقية الجسم. الجمود الميكانيكي يعتمد على كمية الكتلة وموتور القصور الذاتي في الجسم. القصور الحراري يقيس الصعوبة التي يغير بها جسمه درجة حرارته عن طريق التلامس مع الأجسام الأخرى أو التسخين. القصور الحراري يعتمد على حجم الكتلة والقدرة الحرارية.

والقوى المزعومة بالقصور الذاتي هي قوى خيالية أو واضحة لمراقب في نظام مرجعي غير خمزي.

كتلة القصور الذاتي هي مقياس لمقاومة الكتلة للتغير في السرعة فيما يتعلق بنظام مرجعي بالقصور الذاتي. في الفيزياء الكلاسيكية ، يتم تعريف الكتلة القصرية لجسيمات النقطة بواسطة المعادلة التالية ، حيث يتم أخذ الجسيم كوحدة ( ):

حيث mi هي كتلة القصور الذاتي i ، و i1 هي التسارع الأولي للجسيمات i ، في اتجاه الجسيم i نحو الجسيم 1 ، في الحجم الذي تشغله الجسيمات i و 1 فقط ، حيث تكون كلتا الجسيمتين مبدئيًا عند الراحة وعند وحدة المسافة. لا توجد قوى خارجية ولكن الجسيمات تمارس قوى على بعضها البعض.

العمل
والطاقة عرض الطاقة والطاقة بواسطة نظريات الطاقة الميكانيكية. الرئيسية ، والتي منها يتم اشتقاق النظريات الأخرى ، هي نظرية الطاقة الحركية. يمكن ذكر هذه النظرية في نسخة تفاضلية أو في نسخة متكاملة. من الآن فصاعداً ، سيتم الإشارة إلى نظرية الطاقة الحركية مثل TEC.

بفضل TEC ، يمكن تأسيس علاقة بين الميكانيكا والعلوم الأخرى ، مثل الكيمياء والهندسة الكهربائية ، والتي تستمد منها أهمية حيوية.

القوة والإمكانات

تشتمل آليات الجسيمات أو الوسائط المستمرة على صيغ مختلفة قليلاً في الميكانيكا الكلاسيكية والميكانيكية النسبية وميكانيكا الكم. في جميع هذه الحالات ، تتمثل أسباب التغيير في القوى أو المفاهيم المشتقة مثل الطاقة الكامنة المرتبطة بنظام القوات. في المبدأين الأولين يتم استخدام مفهوم القوة بشكل أساسي ، بينما في الميكانيك الكمومي ، من الأكثر تكرارًا أن نطرح المشاكل من حيث الطاقة الكامنة. ترتبط القوة الناتجة عن نظام ميكانيكي كلاسيكي بتغير مقدار الحركة بالعلاقة البسيطة:

عندما يكون النظام الميكانيكي أيضًا محافظًا ، ترتبط الطاقة الكامنة بالطاقة الحركية المرتبطة بالحركة من خلال العلاقة:

في الميكانيكا النسبية لا تكون العلاقات المذكورة أعلاه صحيحة إذا كانت t تشير إلى المكون الزمني المقاس بأي مراقب ، ولكن إذا تم تفسير t كوقت المراقب الخاص ، فعندئذ تكون صالحة. في الميكانيكا الكلاسيكية ، وبالنظر إلى الطابع المطلق للوقت ، لا يوجد فرق حقيقي بين الوقت الخاص بالمراقب وبين تنسيقه الزمني.

الأنظمة الديناميكية
نظرية الأنظمة الديناميكية هي فرع من فروع الرياضيات ، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية المعادلات التفاضلية ونظرية الفوضى التي تدرس الخصائص النوعية لمعادلات التطور الديناميكي.