الموسيقى والرياضيات

نظرية الموسيقى ليس لها أساس بديهي في الرياضيات الحديثة، ومع ذلك يمكن وصف أساس الصوت الموسيقي رياضيا (في الصوتيات) ويعرض “مجموعة ملحوظة من خصائص العدد”. عناصر الموسيقى مثل شكلها، والإيقاع والمتر، والملاعب من الملاحظات وتيرة نبضها يمكن أن تكون ذات صلة لقياس الوقت والتردد، وتقدم قياسات جاهزة في الهندسة.

وقد تم دراسة العلاقة الوثيقة بين الموسيقى والرياضيات منذ العصور القديمة: وتعطى مثال كلاسيكي من قبل مدرسة فيثاغورس، الذي الاكتشاف (فيثاغورس تعيين لهم المعاني باطني)، والتي ترتبط نغمات مختلفة من مقياس لنسبة بين الأعداد الصحيحة: الرسام نصفه يبدو الأوكتاف العلوي، وانخفاض إلى 3/4 الرابع، وانخفاض إلى 2/3 الخامس، وهلم جرا.

الكثير من الرياضيات المطبقة في مجال الموسيقى يأتي من دراسة الفيزياء الصوتية والمشاكل ذات الصلة. إذا كان التقسيم الإيقاعي نفسه للمقياس الموسيقي مبينا بجزء رياضي، فإننا نعلم أنه عند أي ضجيج هناك مساهمة من موجات ثابتة لا حصر لها، وأن أي صوت يمكن أن تتحلل إلى موجات جيبية عن طريق التحليل التوافقي ( وأعرب رياضيا مع خوارزمية تحويل فورييه).

وقد أدت محاولة تكوين وتوصيل طرق جديدة لتأليف وسماع الموسيقى إلى التطبيقات الموسيقية لنظرية مجموعة، الجبر المجرد ونظرية العدد. وقد أدرج بعض الملحنين النسبة الذهبية وأرقام فيبوناتشي في عملهم.

بطريقة أكثر تجريدا، كانت الموسيقى مرتبطة أيضا بالرياضيات في جانبها التركيبي (الأمر الذي يتطلب توزيع الأصوات بين مختلف الارتفاعات، في أوقات مختلفة من الزمن وبين الأصوات المختلفة لفناني الأداء). كان لهذا النوع من التحليل الموسيقي الموسيقيين اللامعين على مر القرون (فكر في الهندسة الموسيقية لشرائع باخ) وقد عرف ثروات جديدة حتى في أوقات قريبة منا (في 1900، على سبيل المثال، معهد كرانششتاين في دارمشتات، راديو كولونيا استوديو الموسيقى الإلكترونية، مركز الموسيقى الفونولوجيا ميلان و إركام في باريس).

على الرغم من أن الصينيين القدماء والهنود والمصريين وبلاد الرافدين يعرفون أنهم قد درسوا المبادئ الرياضية للصوت، كان فيثاغورس (ولا سيما فيلولاوس و أرتشيتاس) من اليونان القديمة أول الباحثين المعروفين أنه قد تحقق في التعبير عن المقاييس الموسيقية من حيث النسب العددية ، ولا سيما نسب الأعداد الصحيحة الصغيرة. وكان عقيدتهم المركزية أن “كل الطبيعة تتكون من الانسجام الناشئ عن الأعداد”.

من وقت أفلاطون، واعتبر الانسجام فرع أساسي من الفيزياء، والمعروفة الآن باسم الصوتيات الموسيقية. ويظهر المنظرون الهنود والصينيون المبكرون نهجا مشابهة: سعى كل منهم إلى إظهار أن القوانين الرياضية للمواءمة والإيقاعات كانت أساسية ليس فقط لفهمنا للعالم بل لرفاه الإنسان. كونفوشيوس، مثل فيثاغورس، تعتبر أعداد صغيرة 1،2،3،4 كمصدر لجميع الكمال.

من القرن السابع عشر، جاء العديد من الموسيقيين لاختبار المعرفة الرياضية الصلبة (على سبيل المثال، قدم جوسيب تارتيني أدلة في أطروحة الموسيقى وفقا لعلم الانسجام الحقيقي في عام 1754 وهكذا إانيس شيناكيس في الموسيقى رسميا في عام 1971، بيير بوليز وفليب خريجي الزجاج في الرياضيات وقد استلهمت من فنهم).

بدون حدود الهيكل الإيقاعي – ترتيب أساسي متساو ومنتظم لتكرار النبض، لهجة، عبارة ومدة – الموسيقى لن يكون ممكنا. ويعكس الاستخدام الموسيقي الحديث للمصطلحات مثل المقياس والقياس أيضا الأهمية التاريخية للموسيقى، جنبا إلى جنب مع علم الفلك، في تطوير العد والحساب والقياس الدقيق للوقت والدورية التي تعتبر أساسية للفيزياء. [بحاجة لمصدر]

عناصر الشكل الموسيقي في كثير من الأحيان بناء أبعاد صارمة أو هياكل هرمترية (صلاحيات الأرقام 2 و 3).

الشكل الموسيقي هو الخطة التي يتم من خلالها توسيع قطعة قصيرة من الموسيقى. يستخدم مصطلح “خطة” أيضا في الهندسة المعمارية، والتي غالبا ما تتم مقارنة الشكل الموسيقي. ومثل المهندس المعماري، يجب على الملحن أن يأخذ في الاعتبار الوظيفة التي يقصد بها العمل والوسائل المتاحة، وممارسة الاقتصاد والاستفادة من التكرار والنظام. إن الأنواع الشائعة من الأشكال المعروفة باسم ثنائي وثلاثي (“مزدوج” و “ثلاثة أضعاف”) تثبت مرة أخرى أهمية القيم المتكاملة الصغيرة لذكاء ونداء الموسيقى.

ظاهرة الضرب هي عندما يتم تشغيل اثنين من الملاحظات تردد مماثلة (ولكن ليست متطابقة). هناك ثم الانطباع من سماع صوت تردد قريبة من تلك من أول اثنين، ولكن شدة تتأرجح مع مرور الوقت ببطء كما ترددات من أول اثنين من الأصوات كانت قريبة. لهذا السبب، يتم استخدام يدق لتحديد ما إذا كان هناك أي انخفاض أو ارتفاع الملاحظات عند لحن في صك.

تفسير هذه الظاهرة يكمن جزئيا في الطبيعة الفيزيائية للموجات الصوتية، وجزئيا في الطريقة التي أذننا تصور الأصوات. إذا ركزنا اهتمامنا على تداخل نغمتين نقيتين (أي أنهما يمكن تمثيلهما بالموجات الجيبية) ويفترضان، بالنسبة للبساطة،

المقياس الموسيقي عبارة عن مجموعة منفصلة من الملاعب المستخدمة في صناعة الموسيقى أو وصفها. وأهم مقياس في التقاليد الغربية هو المقياس الموسيقي، ولكن الكثير منها قد استخدم واقترح في مختلف العصور التاريخية وأجزاء من العالم. كل ملعب يتوافق مع تردد معين، وأعرب في هيرتز (هرتز)، ويشار إليها أحيانا دورات في الثانية (c.p.s.). مقياس له فاصل من التكرار، وعادة اوكتاف. الأوكتاف من أي الملعب يشير إلى تردد بالضبط مرتين من الملعب معين.

نجاح سوبيروكتافس هي الملاعب وجدت في الترددات أربعة وثمانية وستة عشر مرة، وهلم جرا، من التردد الأساسي. وتسمى الملاعب في الترددات من نصف، ربع، والثامن وهلم جرا من الأساسية سوبوكتافيس. لا توجد حالة في الانسجام الموسيقي حيث، إذا اعتبرت الملعب معطلا، أن أوكتافات لها تعتبر خلاف ذلك. ولذلك، فإن أي ملاحظة و أوكتافات لها عموما وجدت على نحو مماثل اسمه في النظم الموسيقية (على سبيل المثال سوف يسمى كل دوه أو A أو سا، حسب الحالة).

وعندما يعبر عنه بعرض النطاق الترددي، يمتد أوكتاف A2-A3 من 110 هرتز إلى 220 هرتز (سبان = 110 هرتز). الأوكتاف القادم سوف تمتد من 220 هرتز إلى 440 هرتز (سبان = 220 هرتز). يمتد اوكتاف الثالث من 440 هرتز إلى 880 هرتز (سبان = 440 هرتز) وهلم جرا. كل اوكتاف المتعاقبة يمتد مرتين في مدى التردد من اوكتاف السابق.

ولأننا كثيرا ما نهتم بالعلاقات أو النسب بين الملاعب (المعروفة باسم الفواصل الزمنية) بدلا من الملامح الدقيقة نفسها في وصف المقياس، فمن المعتاد أن نشير إلى جميع درجات الملعب من حيث نسبتها من درجة معينة، والتي تعطى قيمة واحدة (غالبا ما تكون مكتوبة 1/1)، عموما ملاحظة التي تعمل كمنشط من الجدول. لمقارنة حجم الفاصل الزمني، وغالبا ما تستخدم سنتا.

هناك نوعان من الأسر الرئيسية من أنظمة ضبط: مزاجه على قدم المساواة ومواءمة فقط. يتم بناء جداول مزاج متساوية من خلال تقسيم اوكتاف إلى فترات متساوية على مقياس لوغاريتمي، مما يؤدي إلى مقاييس موزعة بالتساوي تماما، ولكن مع نسب الترددات التي هي أرقام غير منطقية. يتم بناء المقاييس فقط عن طريق ضرب ترددات من قبل الأرقام العقلانية، مما يؤدي إلى نسب بسيطة بين الترددات، ولكن مع الانقسامات على نطاق وغير متكافئ.

أحد الاختلافات الرئيسية بين ضبط مزاج متساوية وضبط فقط هو الاختلافات في فوز الصوتية عندما اثنين من النوتات بدا معا، مما يؤثر على تجربة ذاتية من التطابق والتنافر. كل من هذه الأنظمة، والغالبية العظمى من الموسيقى بشكل عام، لديها المقاييس التي تكرر على الفاصل الزمني من كل اوكتاف، والتي تعرف بأنها نسبة تردد 2: 1. وبعبارة أخرى، في كل مرة يتم مضاعفة التردد، يكرر مقياس معين.

وفيما يلي ملفات أوغ فوربيس مما يدل على الفرق بين التجويد فقط ومزاجه على قدم المساواة. قد تحتاج إلى تشغيل عينات عدة مرات قبل أن تتمكن من اختيار الفرق.

اثنين من موجات جيبية لعبت على التوالي – هذه العينة لديها نصف خطوة في 550 هرتز (C♯ في مقياس التجويد فقط)، تليها نصف خطوة في 554.37 هرتز (C♯ على نطاق مزاجه متساوية).
نفس المذكرتين، وضعت ضد دواسة A440 – تتكون هذه العينة من “دياد”. المذكرة السفلية هي A ثابتة (440 هرتز في أي من النطاقين)، والمذكرة العليا هي C♯ في مقياس متساوي المقاس لأول 1 “، و C♯ في مقياس التجويد فقط لآخر 1”. وتؤدي اختلافات الطور إلى تسهيل انتقاء المرحلة الانتقالية مقارنة بالعينة السابقة.

5-ضبط الحد، والشكل الأكثر شيوعا من التجويد فقط، هو نظام ضبط باستخدام النغمات التي هي عدد التوافقيات العادية من تردد أساسي واحد. كان هذا أحد المقاييس التي عرضها يوهانس كيبلر في كتابه هارمونيسز موندي (1619) في اتصال مع حركة الكواكب. أعطيت نفس المقياس في شكل منقول من قبل عالم الرياضيات الاسكتلندي و المنظر النظري، الكسندر مالكولم، في 1721 في كتابه “رسالة من موسيك: المضاربة، العملية والتاريخية”، ومن قبل المنظر خوسيه فويرشميدت في القرن 20th. ويستخدم شكل من أشكاله في الموسيقى في شمال الهند.

الملحن الأمريكي تيري رايلي أيضا استخدام شكل مقلوب منه في له “القيثارة من البيون الجديد”. مجرد التجويد يعطي نتائج متفوقة عندما يكون هناك القليل أو عدم وجود وتر وتر: الأصوات وغيرها من الصكوك تجذب مجرد التجويد كلما كان ذلك ممكنا. ومع ذلك، فإنه يعطي اثنين من فترات لهجة كاملة مختلفة (9: 8 و 10: 9) لأن أداة ضبطها، مثل البيانو، لا يمكن تغيير المفتاح. ولحساب تواتر المذكرة في مقياس معين من حيث النسب، تضرب نسبة التردد في التردد المنشط. على سبيل المثال، مع منشط من A4 (A فوق المتوسط ​​الأوسط C)، والتردد هو 440 هرتز، وضبطها الخامس أعلاه أعلاه (E5) هو ببساطة 440 × (3: 2) = 660 هرتز.

ضبط فيثاغورس هو ضبط استنادا فقط على كونكونانسس الكمال، (الكمال) اوكتاف، الكمال الخامس، والكمال الرابع. وهكذا، فإن الثلث الرئيسي لا يعتبر الثالث بل هو ديتون، حرفيا “نغمتان”، و (9: 8) 2 = 81:64، بدلا من المستقلين والتوافقي فقط 5: 4 = 80:64 مباشرة أدناه. النغمة الكاملة هي فاصل ثانوي، يتم اشتقاقها من خامسين مثاليين، (3: 2) 2 = 9: 8.

والثالث الرئيسي الوحيد، 5: 4 والثالث الصغير، 6: 5، هي فاصلة متناغمة، 81:80، وبصرف النظر عن معادلها فيثاغورس 81:64 و 32:27 على التوالي. وفقا لكارل دالهوس (1990، ص 187)، “الثلث التابع يتوافق مع فيثاغورس، ثالث مستقل للضبط التوافقي من فترات.”

الغربية ممارسة الموسيقى الشائعة عادة لا يمكن أن تقوم في التجويد فقط ولكن يتطلب مقياسا خفف بانتظام. يمكن أن ينطوي التقسية إما على مخالفات مزاجية جيدة أو أن يتم بناؤها كمزاج منتظم، إما شكل من أشكال مزاج متساوي أو بعض المفاصل العادية الأخرى، ولكن في جميع الحالات سوف تنطوي على السمات الأساسية للمزاجه المعتادة. على سبيل المثال، فإن جذر الوتر إي، إذا تم ضبطه إلى الخامس فوق المهيمنة، سيكون لهجة كاملة رئيسية (9: 8) فوق منشط. إذا ضبطت ثلث بسيط فقط (6: 5) تحت درجة فرعية فقط من 4: 3، ومع ذلك، فإن الفاصل الزمني من منشط يساوي لهجة كاملة طفيفة (10: 9). مزاج مينتون يقلل من الفرق بين 9: 8 و 10: 9. نسبتهم، (9: 8) / (10: 9) = 81:80، تعامل على أنها انسجام تام. الفاصل الزمني 81:80، تسمى فاصلة سينتونية أو فاصلة ديديموس، هو الفاصلة الرئيسية للمزاج المعني.

في مزاجه على قدم المساواة، وينقسم اوكتاف إلى أجزاء متساوية على مقياس لوغاريتمي. في حين أنه من الممكن بناء مقياس مزاجه على قدم المساواة مع أي عدد من الملاحظات (على سبيل المثال، لهجة 24 نغمة العربية النظام)، والعدد الأكثر شيوعا هو 12، مما يشكل على نطاق متساوي مزاجه لوني. في الموسيقى الغربية، ويفترض عادة تقسيم إلى اثني عشر فترات ما لم يتم تحديد خلاف ذلك.

على مقياس لوني، وينقسم اوكتاف إلى اثني عشر أجزاء متساوية، كل نصف نقطية (نصف خطوة) هو فاصل من الجذر الثاني عشر من اثنين بحيث اثني عشر من هذه الخطوات نصف متساوية تضيف ما يصل الى اوكتاف بالضبط. مع أدوات فريتد فمن المفيد جدا استخدام مزاجه على قدم المساواة بحيث الحنق محاذاة بالتساوي عبر السلاسل. في التقليد الموسيقى الأوروبية، تم استخدام مزاجه على قدم المساواة لعزف والموسيقى الغيتار في وقت سابق بكثير من غيرها من الصكوك، مثل لوحات المفاتيح الموسيقية. بسبب هذه القوة التاريخية، اثني عشر لهجة مزاجه على قدم المساواة هو الآن نظام التجويد المهيمن في الغرب، والكثير من العالم غير الغربي.

وقد استخدمت مقاييس خففت بنفس القدر، وبنيت أدوات باستخدام أرقام أخرى مختلفة من فترات متساوية. يستخدم 19 مزاجه على قدم المساواة، اقترح لأول مرة واستخدامها من قبل غيوم كوستيلي في القرن 16، يستخدم 19 نغمات متباعدة على قدم المساواة، وتقدم أفضل ثلثي أفضل وثلثي أفضل بكثير من العادي 12-سيميتون مزاجه متساوية على تكلفة الخامس تملق. التأثير الكلي هو واحد من أكبر التماثل. 24 مزاجه على قدم المساواة، مع 24 نغمات متباعدة على قدم المساواة، على نطاق واسع في التربية والترميز للموسيقى العربية. ومع ذلك، من الناحية النظرية والممارسة، والتجويد من الموسيقى العربية تتفق مع نسب عقلانية، بدلا من نسب غير عقلانية من نظم خفف بالتساوي.

في حين أن أي تناظرية لهجة الربع خفف بالتساوي غائبة تماما من أنظمة التجويد العربية، النظير إلى لهجة ثلاثة أرباع، أو ثاني محايد، تحدث في كثير من الأحيان. غير أن هذه الثواني المحايدة تختلف قليلا في نسبها التي تعتمد على المقام، وكذلك الجغرافيا. وفي الواقع كتب مؤرخ الموسيقى العربية حبيب حسن توما أن “اتساع الانحراف في هذه الخطوة الموسيقية هو عنصر حاسم في النكهة الغريبة للموسيقى العربية، وللتخفيف من المقاس من خلال تقسيم الأوكتاف إلى أربعة وعشرين ربع ربع متساوية الحجم سيكون استسلام واحد من العناصر الأكثر تميزا في هذه الثقافة الموسيقية. ”

الرسم البياني التالي يكشف عن مدى دقة مختلف جداول متساوية المقاييس تقارب ثلاثة الهويات التوافقية الهامة: الثالث الكبرى (5 التوافقي)، وخامس الكمال (التوافقية 3)، و “السابع التوافقي” (7 التوافقية). [ملاحظة: الأرقام فوق القضبان تعين المقياس على قدم المساواة (على سبيل المثال، “12” يحدد 12 درجة لهجة متساوية المقياس، وما إلى ذلك)]

مشكلة التجويد، كما ذكرنا أعلاه، مستمدة من الحاجة إلى أن تكون قادرة على ضبط الآلات الوترية مثل البيانو أو السلاسل بحيث يمكن أن تلعب في ظلال مختلفة. أي من الطريقتين حتى الآن يحل هذه المشكلة بدقة، كما يمكن أن يرى من الإجراء التالي.

طريقة واحدة لضبط أداة ضبط ثابتة هي الحفاظ على النطاقات الخامسة من حبل قاعدة. وبهذه الطريقة يتم منحها من خلال ما يسمى دورة حلقة: هل، سول، الملك، لا، لي، سي، هل، هل، سول، ري، لا، فا (أو Miè)، هل سبعة أوكتافات يعود إلى الأساسية ملحوظة. فمن السهل أن نرى أن أيا من الطرق التي تم فحصها هنا يمكن أن يسبب D8 ليتزامن مع واحد تم الحصول عليها من دورة حلقة: في الواقع، لكل من مزاجه الطبيعي و بيثاغوران، ترددات اوكتاف متعددة من القوى من اثنين، في حين في دورة حلقة الترددات متعددة من صلاحيات 3/2: لا قوة اثنين هو أيضا قوة 3/2. وتنطبق هذه الحجة أيضا على التقارير الأخرى التي ينظر فيها.

ولذلك، يرى أن الموالف الذي يريد ضبط أداة تحاول الحفاظ على جميع النطاقات الصحيحة (الثالثة والرابعة والخامسة) سيواجه مشكلة غير قابلة للذوبان ويجب أن يسعى إلى حل وسط: وهذا ما يساوي المزاج.

نظرية مجموعة موسيقية تستخدم لغة نظرية مجموعة الرياضية بطريقة أولية لتنظيم الأشياء الموسيقية ووصف علاقاتهم. لتحليل هيكل قطعة من الموسيقى (الأتونية عادة) باستخدام نظرية مجموعة الموسيقية، وعادة ما يبدأ واحد مع مجموعة من النغمات، والتي يمكن أن تشكل دوافع أو الحبال. من خلال تطبيق عمليات بسيطة مثل تبديل والانقلاب، يمكن للمرء أن يكتشف الهياكل العميقة في الموسيقى. وتسمى عمليات مثل تبديل وعكس إسوميتريز لأنها تحافظ على فترات بين النغمات في مجموعة.

التوسع في أساليب نظرية مجموعة الموسيقية، وقد استخدم بعض المنظرين الجبر المجرد لتحليل الموسيقى. على سبيل المثال، الطبقات الملعب في اوكتاف خفف بالتساوي تشكل مجموعة أبيليان مع 12 عناصر. ومن الممكن وصف التجويد فقط من حيث مجموعة أبيليان حرة.

نظرية التحول هي فرع من نظرية الموسيقى التي وضعتها ديفيد ليوين. وتسمح النظرية بالعمومية العظيمة لأنها تؤكد على التحولات بين الأشياء الموسيقية، بدلا من الأشياء الموسيقية نفسها.

وقد اقترح المنظرون أيضا التطبيقات الموسيقية للمفاهيم الجبرية الأكثر تطورا. وقد تم تطوير نظرية تمبردنتس على نطاق واسع مع مجموعة واسعة من الرياضيات المتطورة، على سبيل المثال عن طريق ربط كل مزاجه العادية مع نقطة عقلانية على غراسمانيان.

وقد تم أيضا استخدام تحليل حقيقي ومعقد، على سبيل المثال من خلال تطبيق نظرية الدالة زيتا ريتا لدراسة تقسيمات متساوية من اوكتاف.

تطور الرياضيات المعاصرة الرياضيات (من التحليل إلى التكوين، لفتة في التفسير الموسيقي) ويرجع ذلك أساسا إلى مساهمة عالم الرياضيات والموسيقي غيرينو مازولا، وهو أستاذ في الولايات المتحدة في جامعة مينيسوتا.

ينظم سمسم، جمعية الرياضيات والحوسبة في الموسيقى، مؤتمرات نصف سنوية عن نتائج البحوث الرياضيات والموسيقى.