Tessellation

Eine Tessellation oder ein Kacheln einer flachen Oberfläche ist die Kachelung eines Flugzeugs unter Verwendung einer oder mehrerer geometrischer Formen, die als Kacheln ohne Überlappungen und ohne Lücken bezeichnet werden. In der Mathematik können Tesselationen zu höheren Dimensionen und einer Vielzahl von Geometrien verallgemeinert werden.

Vergleich des Flächen-Perimeter-Verhältnisses zwischen gleichseitigem Dreieck, Quadrat und regelmäßigem Sechseck. Die Hex teilen die Ebene mit dem minimalen Umfang, der für den bedeckten Oberflächenabschnitt verwendet wird. In flacher Geometrie wird das Dimmen (manchmal Kippen oder Bodenbelag) als die Möglichkeit bezeichnet, die Ebene mit einer oder mehreren geometrischen Figuren zu bedecken, die unendlich ohne Überlappung wiederholt werden.

Diese geometrischen Figuren („Dübel“ genannt) sind häufig regelmäßige oder nicht regelmäßige Polygone, können aber auch gekrümmte Seiten haben oder keine Ecken haben. Die einzige Bedingung, die normalerweise auftritt, ist, dass sie verbunden sind, eher einfach verbunden sind (das heißt, sie sind ein einzelnes Stück und haben keine Löcher).

Obwohl dieser Zustand sehr restriktiv erscheinen mag, wird er von praktisch jedem Bodenbelag, den Sie denken, respektiert. Der Grund, warum es nützlich ist, ist, dass es Tonnen von verschiedenen Aussehen miteinander vergleichen können.

Die grundlegende Parallelogrammschablone ist jedoch nicht die vollständigste Art, reguläre Punktierungen zu klassifizieren; Die Kenntnis der Winkel- und Seitenmaße erlaubt uns nicht, die geometrischen Merkmale unserer Verdunkelung mit Bestimmtheit zu bestätigen: Es kann vorkommen, dass ein kleinerer Teil des Parallelogramms (genauer gesagt ein Teil des Parallelogramms) vorhanden ist, mit dem es möglich ist die gesamte Dekoration rekonstruieren (nicht mehr mit alleiniger Übersetzung, sondern auch mit anderen Isometrien).

Ein periodisches Tiling hat ein sich wiederholendes Muster. Zu den besonderen Arten gehören regelmäßige Pflasterungen mit regelmäßigen polygonalen Fliesen gleicher Form und halbkreisförmige Pflasterungen mit regelmäßigen Fliesen mit mehr als einer Form und mit jeder Ecke identisch angeordnet. Die durch periodische Tilings gebildeten Muster können in 17 Tapetengruppen eingeteilt werden. Eine Kachel, die kein sich wiederholendes Muster aufweist, wird als „nicht-periodisch“ bezeichnet. Ein aperiodisches Kacheln verwendet eine kleine Gruppe von Kachelformen, die kein sich wiederholendes Muster bilden können. In der Geometrie höherer Dimensionen wird eine raumfüllende oder Wabenstruktur auch als Tessellation des Raumes bezeichnet.

Ein Pflaster oder Pflaster ist eine Teilung eines Raumes (normalerweise ein euklidischer Raum wie der ebene oder dreidimensionale Raum) durch Elemente einer endlichen Menge, die als Kacheln bezeichnet werden (genauer gesagt, sie sind nicht leere innere Kompakte). Generell betrachten wir Tilgungen durch Übersetzungen, das heißt, zwei gleiche Pflasterplatten sind immer durch eine Translation voneinander absetzbar (ohne Rotationen oder Symmetrien). Es gibt auch Tessellationen von nicht-euklidischen Räumen, von denen die berühmtesten ohne Zweifel die zahlreichen Bürgersteige von M.C. Escher (einheitliche Tessellationen der hyperbolischen Ebene (in)).

Eine echte physikalische Tessellation ist eine Kachelung aus Materialien wie zementierten keramischen Quadraten oder Sechsecken. Solche Verkleidungen können dekorative Muster sein oder können Funktionen wie das Bereitstellen von dauerhaften und wasserbeständigen Pflaster-, Boden- oder Wandabdeckungen haben. Historisch wurden Tesselations im antiken Rom und in der islamischen Kunst wie in den dekorativen geometrischen Tiling des Alhambra Palastes benutzt. Im 20. Jahrhundert nutzten die Arbeiten von M. C. Escher oft Tesselationen, sowohl in gewöhnlicher euklidischer Geometrie als auch in hyperbolischer Geometrie, für künstlerische Effekte. Tessellationen werden manchmal für dekorative Effekte beim Quilten verwendet. Tessellationen bilden eine Klasse von Mustern in der Natur, zum Beispiel in den Anordnungen von hexagonalen Zellen, die in Waben gefunden werden.

Die Sumerer (um 4000 v. Chr.) nutzten die Versalzung, um Wanddekorationen aus Lehmziegeln zu bauen.

Dekorative Mosaikkacheln aus kleinen quadratischen Blöcken, die Tesserae genannt werden, wurden in der Antike häufig verwendet und zeigten manchmal geometrische Muster.

Johannes Kepler machte 1619 eine früh dokumentierte Studie von Tessellationen. Er schrieb über regelmäßige und halb-regularische Tessellationen in seinen Harmonices Mundi; er war möglicherweise der erste, der die hexagonalen Strukturen von Waben und Schneeflocken erforschte und erklärte.

Etwa zweihundert Jahre später, im Jahre 1891, bewies der russische Kristallograph Yevgraf Fyodorov, dass jedes periodische Tiling des Flugzeugs eine von 17 verschiedenen Isometriengruppen aufweist. Fjodorows Arbeit markierte den inoffiziellen Beginn der mathematischen Untersuchung von Tessellationen. Weitere prominente Mitwirkende sind Shubnikov und Belov (1964) sowie Heinrich Heesch und Otto Kienzle (1963).

Tessella ist ein kleines kubisches Stück Ton, Stein oder Glas, das zur Herstellung von Mosaiken verwendet wird. Das Wort „Tessella“ bedeutet „kleines Quadrat“ (aus Tessera, Quadrat, das wiederum aus dem griechischen Wort τέσσερα für vier ist). Es entspricht dem alltäglichen Begriff Fliesen, der sich auf Anwendungen von Tessellationen bezieht, oft aus glasiertem Ton.

Tessellation oder Tiling in zwei Dimensionen ist ein Thema in der Geometrie, das untersucht, wie Formen, die als Kacheln bezeichnet werden, so angeordnet werden können, dass sie eine Ebene ohne Lücken füllen, je nach einem bestimmten Regelwerk. Diese Regeln können variiert werden. Übliche sind, dass es keine Lücken zwischen den Kacheln geben darf und dass keine Ecke einer Kachel am Rand einer anderen liegen darf. Die Tessellationen, die durch gebundenes Mauerwerk erzeugt werden, gehorchen dieser Regel nicht. Eine reguläre Tessellation hat sowohl identische regelmäßige Kacheln als auch identische regelmäßige Ecken oder Scheitelpunkte, die für jede Kachel den gleichen Winkel zwischen benachbarten Kanten haben. Es gibt nur drei Formen, die solche regelmäßigen Tessellationen bilden können: das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelmäßige Sechseck. Jede dieser drei Formen kann unendlich dupliziert werden, um eine Ebene ohne Lücken zu füllen.

Viele andere Arten von Tessellation sind unter verschiedenen Bedingungen möglich. Zum Beispiel gibt es acht Arten von halb-regulären Tessellation, die mit mehr als einer Art von regelmäßigen Polygon gemacht werden, aber immer noch die gleiche Anordnung von Polygonen an jeder Ecke haben. Unregelmäßige Tessellationen können auch aus anderen Formen wie Fünfecken, Polyominoes und tatsächlich fast jeder Art von geometrischer Form gemacht werden. Der Künstler M. C. Escher ist berühmt für seine Tessellationen mit unregelmäßigen ineinandergreifenden Fliesen in Form von Tieren und anderen Naturobjekten. Wenn geeignete kontrastierende Farben für die Fliesen unterschiedlicher Form gewählt werden, entstehen markante Muster, die zur Dekoration von physischen Oberflächen wie Kirchenböden verwendet werden können.

Formal ist eine Tessellation oder Tiling eine Abdeckung der euklidischen Ebene durch eine zählbare Anzahl von geschlossenen Sätzen, genannt Kacheln, so dass sich die Kacheln nur an ihren Grenzen schneiden. Diese Kacheln können Polygone oder andere Formen sein. Viele Tessellationen werden aus einer endlichen Anzahl von Protofilen gebildet, in denen alle Kacheln in der Tessellation deckungsgleich mit den gegebenen Prototiles sind. Wenn eine geometrische Form als ein Prototil verwendet werden kann, um eine Tessellation zu erzeugen, wird gesagt, dass die Form tesseliert oder die Ebene kachelt. Das Conway-Kriterium ist ein ausreichender, aber nicht notwendiger Satz von Regeln, um zu entscheiden, ob eine gegebene Form die Ebene periodisch ohne Reflexionen kachelt: Einige Kacheln erfüllen das Kriterium nicht, kacheln aber immer noch die Ebene. Es wurde keine allgemeine Regel gefunden, um zu bestimmen, ob eine gegebene Form die Ebene verkleiden kann oder nicht, was bedeutet, dass es viele ungelöste Probleme bezüglich Tessellationen gibt.

die jeweiligen minimalen Designs haben die gleiche Form
Die Transformationen, die auf die minimalen Designs angewendet werden müssen, um jeden der beiden Dübel zu erhalten, sind gleich
Zum Beispiel sehen wir in dem Bild zur Seite eine Punktierung mit ihrem Basisparallelogramm (ein Quadrat) und ihr minimales Design (ein Dreiecksrechteck). Das Punktieren kann erhalten werden, indem man das Quadrat übersetzt, aber auch das einzige dreieckige Rechteck übersetzt und reflektiert. Stattdessen gibt es keinen kleineren Teil des Dreiecks, mit dem alle Quasten neu erstellt werden können.

Es ist bewiesen, dass die regulären Doubling-Klassen genau 17 sind. Um jede Verdoppelung zu katalogisieren, ist es ausreichend, die Transformationen zu kennen, die benötigt werden, um sie aus dem minimalen Design zu erzeugen, wie in der folgenden Tabelle gezeigt:

Das Punktieren in gegenständlicher, abstrakter Kunst und Architektur war schon immer ein Weg, Ästhetik zu verbinden,

Mathematisch können Tessellationen auf andere Räume als die euklidische Ebene ausgedehnt werden. Der Schweizer Geometer Ludwig Schläfli leistete Pionierarbeit, indem er Polyschemen definierte, die heute als Polytope bezeichnet werden. Dies sind die Analogien zu Polygonen und Polyedern in Räumen mit mehr Dimensionen. Er definierte außerdem die Schläfli-Symbolnotation, um Polytope einfach beschreiben zu können. Zum Beispiel ist das Schläfli-Symbol für ein gleichseitiges Dreieck {3}, während das für ein Quadrat {4} ist. Die Schläfli-Notation ermöglicht eine kompakte Beschreibung der Bodenbeläge. Zum Beispiel hat ein Tiling von regelmäßigen Sechsecken an jedem Eckpunkt drei sechsseitige Polygone, so dass sein Schläfli-Symbol {6,3} ist.

Es gibt auch andere Verfahren zum Beschreiben polygonaler Pflasterungen. Wenn die Tesselation aus regulären Polygonen besteht, ist die häufigste Notation die Eckpunktkonfiguration, die einfach eine Liste der Anzahl der Seiten der Polygone um einen Eckpunkt darstellt. Die quadratischen Kacheln haben eine Eckpunktkonfiguration von 4.4.4.4 oder 44. Die Kachelung von regelmäßigen Sechsecken ist in 6.6.6 oder 6 angegeben.

In Mathematik:
Mathematiker verwenden einige technische Begriffe bei der Diskussion von Tilings. Eine Kante ist der Schnittpunkt zweier angrenzender Kacheln; es ist oft eine gerade Linie. Ein Scheitelpunkt ist der Schnittpunkt von drei oder mehr angrenzenden Kacheln. Unter Verwendung dieser Ausdrücke ist eine isogonale oder vertextransitive Kachelung eine Kachelung, bei der jeder Scheitelpunkt identisch ist; Das heißt, die Anordnung von Polygonen um jeden Eckpunkt ist gleich. Die fundamentale Region ist eine Form, wie ein Rechteck, das wiederholt wird, um die Tessellation zu bilden. Zum Beispiel hat eine regelmäßige Tessellation der Ebene mit Quadraten eine Übereinstimmung von vier Quadraten an jedem Scheitelpunkt.

Die Seiten der Polygone sind nicht notwendigerweise identisch mit den Kanten der Kacheln. Ein Rand-zu-Rand-Kacheln ist jede polygonale Tessellation, bei der benachbarte Kacheln nur eine ganze Seite teilen, d. H. Keine Kachel teilt eine Teilseite oder mehr als eine Seite mit irgendeiner anderen Kachel. Bei einer Kante-zu-Kante-Kachelung sind die Seiten der Polygone und die Kanten der Kacheln gleich. Die vertrauten „Ziegelmauer“ Fliesen sind nicht von Kante zu Kante, weil die lange Seite jedes rechteckigen Ziegelsteines mit zwei angrenzenden Ziegelsteinen geteilt wird.

Eine normale Kachelung ist eine Tessellation, bei der jede Kachel topologisch einer Platte entspricht, der Schnittpunkt zweier beliebiger Kacheln eine zusammenhängende Menge oder die leere Menge ist und alle Kacheln gleichmäßig begrenzt sind. Dies bedeutet, dass ein einzelner umschreibender Radius und ein einzelner Beschriftungsradius für alle Fliesen in der gesamten Fliesenverkleidung verwendet werden können; Die Bedingung lässt keine pathologisch langen oder dünnen Kacheln zu.

Eine einhägige Kachelung ist eine Tessellation, bei der alle Kacheln kongruent sind; es hat nur ein Prototil. Eine besonders interessante Art der monoedrischen Tessellation ist die spiralförmige monohedrale Verflachung. Die erste spiralförmige Eineckfliese wurde 1936 von Heinz Voderberg entdeckt; Die Voderberg-Fliesen haben eine Einheitsfliese, die ein nicht konvexes Eneagon ist. Die von Michael D. Hirschhorn und DC Hunt 1985 herausgegebene Hirschhorn-Kachelung ist ein Pentagon-Kacheln mit unregelmäßigen Fünfecken: reguläre Fünfecke können die euklidische Ebene nicht verkleiden, da der innere Winkel eines regulären Fünfecks, 3π / 5, kein Teiler von 2π ist .

Eine isohedrale Kachelung ist eine spezielle Variante einer einflächigen Kachelung, bei der alle Kacheln derselben Transitivitätsklasse angehören, dh alle Kacheln sind Transformationen desselben Prototils unter der Symmetriegruppe der Kachelung. Wenn ein Prototil eine Kachelung zulässt, aber keine solche Kachelung isoedrisch ist, dann wird das Prototil anisohedral genannt und bildet anisedrische Kacheln.

Eine regelmäßige Tessellation ist eine hochsymmetrische Kante-zu-Kante-Anordnung, die aus regulären Polygonen besteht, die alle die gleiche Form haben. Es gibt nur drei regelmäßige Tessellationen: solche aus gleichseitigen Dreiecken, Quadraten oder regelmäßigen Sechsecken. Alle drei dieser Pflasterungen sind isogonal und monohedral.

Einige der aperiodischen Tilgungen sind weniger als andere … mit anderen Worten, der Grad der Aperiodizität kann quantifiziert werden.

Auf diese Weise können wir beispielsweise die Begriffe Rezidiv und einheitliches Rezidiv (oder Quasiperiodizität) anführen.

Eine Kachelung wird als wiederkehrend bezeichnet, wenn ein Muster (endlicher Satz von Kacheln) einmal erscheint und in einem ausreichend großen Bereich erscheint. Wenn man darüber hinaus die Größe dieser Zone in Abhängigkeit von der Größe des Musters festlegen kann, wird die Pflasterung als gleichförmig wiederkehrend (oder quasiperiodisch) bezeichnet.

Somit ist eine gleichmäßig wiederkehrende Kachelung der Ebene derart, dass, wenn wir ein beliebiges Muster in einem Kreis mit dem auf der Kachelung verfolgten Radius betrachten, eine Zahl R existiert, so dass wir sicher sein können, dass dieses Muster in einem beliebigen Kreis wieder erscheint Radius R auf dem Bürgersteig verfolgt.

Insbesondere periodische Tilings sind einheitlich wiederkehrend (erst recht wiederkehrend). Dies ist auch bei Penrose-Pflaster der Fall. Tatsächlich kann gezeigt werden, dass, wenn eine Gruppe von Kacheln die Ebene pflastert, sie diese auch in einer gleichförmig wiederkehrenden Weise pflastern kann (der Beweis basiert auf einem diagonalen Argument).

Eine semi-reguläre (oder archimedische) Tessellation verwendet mehr als eine Art regelmäßiges Polygon in einer isogonalen Anordnung. Es gibt acht semi-reguläre Tilings (oder neun, wenn das spiegelbildliche Paar Tilings als zwei zählt). Diese können durch ihre Eckpunktkonfiguration beschrieben werden; Zum Beispiel hat eine halb-reguläre Kachelung unter Verwendung von Quadraten und regulären Oktagonen die Scheitelpunktkonfiguration 4.82 (jeder Scheitelpunkt hat ein Quadrat und zwei Oktogone). Viele Nicht-Kante-zu-Kante-Tilings der euklidischen Ebene sind möglich, einschließlich der Familie der Pythagoräischen Tilings, Tessellationen, die zwei (parametrisierte) Größen von Quadrat verwenden, wobei jedes Quadrat vier Quadrate der anderen Größe berührt. Eine Kantentessellation ist eine, bei der jede Kachel über eine Kante reflektiert werden kann, um die Position einer benachbarten Kachel aufzunehmen, wie in einer Anordnung von gleichseitigen oder gleichschenkligen Dreiecken.

Decken mit translationaler Symmetrie in zwei unabhängigen Richtungen können durch Tapetengruppen eingeteilt werden, von denen 17 existieren. Es wurde behauptet, dass alle siebzehn dieser Gruppen im Alhambra-Palast in Granada, Spanien, vertreten sind. Obwohl dies umstritten ist, haben die Vielfalt und die Raffinesse der Alhambra-Fliesen moderne Forscher überrascht. Von den drei regulären Tilings sind zwei in der p6m Tapetengruppe und eine in p4m. 2D-Kacheln mit translationaler Symmetrie in nur einer Richtung können von den sieben Friesgruppen kategorisiert werden, die die möglichen Friesmuster beschreiben. Die Orbifold-Notation kann verwendet werden, um Hintergrundgruppen der euklidischen Ebene zu beschreiben.

Penrose Tilings, die zwei verschiedene Vierecke verwenden, sind das bekannteste Beispiel für Kacheln, die zwangsweise nichtperiodische Muster erzeugen. Sie gehören zu einer allgemeinen Klasse von aperiodischen Tilings, die Fliesen verwenden, die nicht periodisch tessellieren können. Der rekursive Vorgang des Substitution Tilings ist eine Methode zur Erzeugung aperiodischer Tilings. Eine Klasse, die auf diese Weise erzeugt werden kann, sind die Rep-Kacheln; diese Pflasterungen haben überraschende selbstreplizierende Eigenschaften. Pinwheel Tilings sind nicht-periodisch, mit einer Rep-Tile-Konstruktion; die Fliesen erscheinen in unendlich vielen Orientierungen. Man könnte denken, dass ein nicht-periodisches Muster völlig ohne Symmetrie wäre, aber das ist nicht so. Aperiodische Tilings haben, obwohl sie keine Translationssymmetrie aufweisen, Symmetrien anderer Typen, durch unendliche Wiederholung jedes begrenzten Teils der Kachelung und in bestimmten endlichen Gruppen von Rotationen oder Reflexionen dieser Flecken. Eine Substitutionsregel, wie sie verwendet werden kann, um einige Penrose-Muster unter Verwendung von Gruppen von Kacheln, die Rauten genannt werden, zu erzeugen, veranschaulicht die Skalierungssymmetrie. Ein Fibonacci-Wort kann verwendet werden, um ein aperiodisches Tiling aufzubauen und Quasikristalle zu untersuchen, die Strukturen mit aperiodischer Ordnung sind.

Wang-Kacheln sind Quadrate, die an jeder Kante gefärbt sind, und so platziert, dass angrenzende Kanten benachbarter Kacheln die gleiche Farbe haben; daher werden sie manchmal Wang Dominos genannt. Ein passender Satz von Wang-Dominosteinen kann das Flugzeug verkleiden, aber nur aperiodisch. Dies ist bekannt, weil jede Turing-Maschine als ein Satz von Wang-Dominos dargestellt werden kann, die das Flugzeug genau dann kacheln, wenn die Turing-Maschine nicht anhält. Da das Halteproblem unentscheidbar ist, ist das Problem der Entscheidung, ob ein Wang-Domino-Satz das Flugzeug verkleiden kann, ebenfalls unentscheidbar.

Truchet Fliesen sind quadratische Fliesen mit Mustern verziert, so dass sie keine Rotationssymmetrie haben; Im Jahr 1704 verwendete Sébastien Truchet eine quadratische Fliese, die in zwei kontrastierende Dreiecke geteilt war. Diese können die Ebene entweder periodisch oder zufällig kacheln.

Manchmal wird die Farbe einer Fliese als Teil der Fliese verstanden. Zu anderen Zeiten können willkürliche Farben später angewendet werden. Wenn Sie eine in Farben dargestellte Kachel diskutieren, müssen Sie zur Vermeidung von Mehrdeutigkeiten angeben, ob die Farben Teil der Kachelung oder nur ein Teil der Illustration sind. Dies wirkt sich darauf aus, ob Fliesen mit gleicher Form, aber unterschiedlichen Farben als identisch betrachtet werden, was wiederum Fragen der Symmetrie betrifft. Das Vier-Farben-Theorem besagt, dass für jede Tesselation einer normalen euklidischen Ebene mit einem Satz von vier verfügbaren Farben jede Kachel in einer Farbe gefärbt werden kann, so dass sich keine Kacheln gleicher Farbe in einer Kurve positiver Länge treffen. Die durch den Vierfarbensatz garantierte Färbung respektiert im Allgemeinen nicht die Symmetrien der Tessellation. Um eine Färbung zu erzeugen, die dies tut, ist es notwendig, die Farben als Teil der Tessellation zu behandeln. Hier können bis zu sieben Farben benötigt werden, wie im Bild rechts.

Neben den verschiedenen Planierungen durch regelmäßige Polygone wurden auch Planierungen durch andere Polygone untersucht.

Jedes Dreieck oder Viereck (auch nicht-konvex) kann als ein Prototil verwendet werden, um eine monohedrale Tesselation zu bilden, oft in mehr als einer Weise. Kopien eines willkürlichen Vierecks können eine Tesselation mit Translationssymmetrie und 2-facher Rotationssymmetrie mit Zentren an den Mittelpunkten aller Seiten bilden. Für ein asymmetrisches Viereck gehört diese Kachelung zur Hintergrundgruppe p2. Als fundamentale Domäne haben wir das Viereck. Gleichermaßen können wir ein Parallelogramm konstruieren, das von einem minimalen Zentrum von Translationsvektoren ausgehend von einem Rotationszentrum umgeben ist. Wir können dies durch eine Diagonale teilen und eine Hälfte (ein Dreieck) als fundamentale Domäne nehmen. Ein solches Dreieck hat die gleiche Fläche wie das Viereck und kann durch Schneiden und Kleben daraus gebildet werden.

Wenn nur eine Form der Kachel erlaubt ist, gibt es Kacheln mit konvexen N-Gonen für N gleich 3, 4, 5 und 6. Für N = 5, siehe Fünfeckige Kachelung und für N = 6, siehe Hexagonale Kachelung.

Für Ergebnisse über das Kacheln der Ebene mit Polyominoes, siehe Polyomino § Verwendung von Polyominoes.

Voronoi- oder Dirichlet-Tilings sind Tessellationen, bei denen jede Kachel als die Menge von Punkten definiert ist, die einem der Punkte in einem diskreten Satz von Definitionspunkten am nächsten liegt. (Stellen Sie sich geografische Regionen vor, in denen jede Region als alle Punkte definiert ist, die einer bestimmten Stadt oder einem Postamt am nächsten liegen.) Die Voronoi-Zelle für jeden Definitionspunkt ist ein konvexes Polygon. Die Delaunay-Triangulation ist eine Tessellation, die das duale Diagramm einer Voronoi-Tessellation ist. Delaunay-Triangulationen sind in der numerischen Simulation nützlich, zum Teil, weil Delaunay-Triangulationen unter allen möglichen Triangulationen der Definitionspunkte das Minimum der von den Kanten gebildeten Winkel maximieren. Voronoi-Kacheln mit zufällig platzierten Punkten können verwendet werden, um zufällige Neigungen der Ebene zu konstruieren.

Tessellation kann auf drei Dimensionen erweitert werden. Bestimmte Polyeder können in einem regelmäßigen Kristallmuster gestapelt werden, um dreidimensionalen Raum zu füllen (oder zu kacheln), einschließlich des Würfels (das einzige platonische Polyeder, um dies zu tun), des rhombischen Dodekaeders, des abgeschnittenen Oktaeders und der dreieckigen, vierseitigen und hexagonalen Prismen , unter anderen. Jedes Polyeder, das diesem Kriterium entspricht, ist als Plesiohedron bekannt und kann zwischen 4 und 38 Flächen besitzen. Natürlich vorkommende Rhombendodekaeder werden als Kristalle von Andradit (eine Art von Granat) und Fluorit gefunden.

Ein Schwarz-Dreieck ist ein sphärisches Dreieck, das zum Kacheln einer Kugel verwendet werden kann.

Tesselationen in drei oder mehr Dimensionen werden Waben genannt. In drei Dimensionen gibt es nur eine regelmäßige Wabe, die an jedem Polyederscheitel acht Würfel hat. In ähnlicher Weise gibt es in drei Dimensionen nur eine quasireguläre Wabe, die an jedem Polyederscheitel acht Tetraeder und sechs Oktaeder aufweist. Es gibt jedoch viele mögliche halbkreisförmige Waben in drei Dimensionen. Einheitliche Polyeder können unter Verwendung der Wythoff-Konstruktion konstruiert werden.

Das Schprit-Conway-Biprisma ist ein konvexes Polyeder mit der Eigenschaft, den Raum nur aperiodisch zu kleiden.

Es ist möglich, in nicht-euklidischen Geometrien wie der hyperbolischen Geometrie zu tessellieren. Eine gleichmäßige Kachelung in der hyperbolischen Ebene (die regelmäßig, quasiregulär oder halb-rechtwinklig sein kann) ist eine Kante-zu-Kante-Füllung der hyperbolischen Ebene mit regelmäßigen Polygonen als Flächen; diese sind vertextransitiv (transitiv auf ihren Scheitelpunkten) und isogonal (es gibt eine Isometrie, die jeden Scheitelpunkt auf irgendeinen anderen abbildet).

Eine einheitliche Wabe im hyperbolischen Raum ist eine gleichmäßige Tessellation gleichförmiger polyedrischer Zellen. Im dreidimensionalen hyperbolischen Raum gibt es neun Coxeter-Gruppen von kompakten, konvexen gleichförmigen Waben, die als Wythoff-Konstruktionen generiert und durch Permutationen von Ringen der Coxeter-Diagramme für jede Familie dargestellt werden.

In der Architektur:
In der Architektur wurden Tesselations seit der Antike verwendet, um dekorative Motive zu schaffen. Mosaikbeläge hatten oft geometrische Muster. Spätere Zivilisationen verwendeten auch größere Fliesen, entweder schlicht oder individuell dekoriert. Einige der dekorativsten waren die maurischen Wandfliesen islamischer Architektur, die Girih- und Zellige-Fliesen in Gebäuden wie der Alhambra und La Mezquita verwendeten.

Kneten im Istanbuler Archäologischen Museum: Es ist kein Zufall, dass der Bodenbelag auch als Pflaster bezeichnet wird: Tatsächlich ist jede Möglichkeit, einen Boden mit geformten Fliesen zu bedecken, nichts anderes als eine Quaste. Deshalb sind die Fliesen in den meisten Gebäuden, die im Laufe der Geschichte hergestellt wurden, notwendig. Insbesondere wurden farbige Dübel oft als Mittel zur Belebung eines Bodens oder einer Wand angesehen.

Berühmt sind die Quasten, die viele Wände des Alhambra-Komplexes in Granada bedecken, die Frucht arabischer Kunst und Geschmäcker der im Entstehen begriffenen Dynastie: Die Araber waren schon immer große Gelehrte der Mathematik und Geometrie, und dieses Wissen durchdringt auch ihre Kunst, so dass Arabesken wird noch häufig verwendet, um geometrische dekorative Motive anzuzeigen.

In Kunst:
Viele der Arbeiten des niederländischen Künstlers Maurits Cornelis Escher sind Quasten, deren Punkte in der Regel Fische, Vögel, Pferde, Fledermäuse, aber auch anthropomorphe Figuren sind. Escher widmete der Realisierung von Dolchen, die den Tieren, die er darstellen wollte, tatsächlich sehr viel Aufmerksamkeit, aber auch dem mathematischen Studium und der Katalogisierung von Punktierungen, einen Vergleich mit den Mathematikern seiner Zeit.

Aus seiner mathematischen Sicht sind seine kühnsten Arbeiten wahrscheinlich diejenigen, in denen er Punktierungen zeigt, die nicht auf einer gewöhnlichen euklidischen Ebene angeordnet sind, sondern sich auf nicht-euklidischer Geometrie bewegen. Obwohl diese nicht formal punktiert sind (da Dübel nicht nur wiederholt, sondern auch skaliert werden), ist die geometrische Grundüberlegung die gleiche, die an das gewählte nicht-euklidische Geometriemodell angepasst ist. Zum Beispiel können Sie in der berühmten Circle-Limit-Reihe die Postulate des hyperbolischen Plans erkennen, der von Henri Poincaré untersucht wurde.

Bemerkenswert ist auch die Metamorphose-Serie, bei der Escher in einem langen Streifen abwechselnd zu anderen geometrischen oder von Hand gezeichneten Motiven abwechselt und so die Vorstellung vermittelt, dass die einfachen geometrischen Regeln an der Basis der Dübel überall und an der Basis vorhanden sind der Natur selbst.

Tessellationen erschienen häufig in der graphischen Kunst von M. C. Escher; Er war inspiriert von der maurischen Verwendung der Symmetrie an Orten wie der Alhambra, als er 1936 Spanien besuchte. Escher machte vier „Circle Limit“ Zeichnungen von Pflasterungen, die hyperbolische Geometrie verwenden. Für seinen Holzschnitt „Circle Limit IV“ (1960) erstellte Escher eine Bleistift-und-Tinte-Studie, die die erforderliche Geometrie zeigt. Escher erklärte, dass „keine einzige Komponente aller Reihen, die von unendlich weit wie Raketen senkrecht von der Grenze aufsteigen und sich darin schließlich verlieren, jemals die Grenzlinie erreicht.“

Tessellierte Muster erscheinen oft auf Textilien, ob gewebt, eingestickt oder bedruckt. Tessellationsmuster wurden verwendet, um ineinandergreifende Motive von Patchformen in Steppdecken zu entwerfen.

Tessellationen sind auch ein Hauptgenre in Origami (Papierfaltung), wo Falten verwendet werden, um Moleküle wie Twist-Falten in einer wiederholten Art und Weise miteinander zu verbinden.

In der Herstellung:
Tessellation wird in der Fertigungsindustrie verwendet, um den Materialverlust (Ertragsverluste) wie Blech beim Schneiden von Formen für Objekte wie Autotüren oder Getränkedosen zu reduzieren.

Die Tessellation zeigt sich im mudcrack-artigen Cracken dünner Filme – mit einem Grad an Selbstorganisation, der unter Verwendung von Mikro- und Nanotechnologien beobachtet wird.

In der Natur:
Die Wabe ist ein bekanntes Beispiel für Tessellation in der Natur mit ihren hexagonalen Zellen.

In der Botanik bezeichnet der Begriff „Tessellat“ ein schachbrettartiges Muster, beispielsweise auf einem Blütenblatt, einer Baumrinde oder Frucht. Blumen, einschließlich der Perlmutterfalter und einige Arten von Colchicum sind charakteristisch mosaikartig.

Viele Muster in der Natur werden durch Risse in Materialbahnen gebildet. Diese Muster können durch Gilber-Tessellationen beschrieben werden, die auch als zufällige Crack-Netzwerke bekannt sind. Die Gilbert-Tessellation ist ein mathematisches Modell für die Bildung von Mudcracks, nadelartigen Kristallen und ähnlichen Strukturen. Das Modell, benannt nach Edgar Gilbert, ermöglicht die Bildung von Rissen ausgehend von zufällig über das Flugzeug verstreuten. jeder Riss breitet sich in zwei entgegengesetzten Richtungen entlang einer Linie durch den Initiationspunkt aus, wobei seine Neigung zufällig gewählt wird, wodurch eine Tesselation von unregelmäßigen konvexen Polygonen erzeugt wird. Basaltische Lavaflüsse weisen oft kolumnare Verflechtungen auf, die durch Kontraktionskräfte verursacht werden, die beim Abkühlen der Lava Risse verursachen. Die ausgedehnten Crack-Netzwerke, die sich entwickeln, erzeugen oft hexagonale Lavastränge. Ein Beispiel für eine solche Reihe von Säulen ist der Giant’s Causeway in Nordirland. Tessellated Pflaster, ein typisches Beispiel von Eaglehawk Neck auf der Tasmanischen Halbinsel von Tasmanien, ist eine seltene Sedimentgesteinsformation, wo das Gestein in rechteckigen Blöcken gebrochen hat.

Andere natürliche Muster treten in Schäumen auf; Diese sind nach den Gesetzen von Plateau verpackt, die minimale Oberflächen erfordern. Solche Schäume stellen ein Problem dar, wie Zellen so dicht wie möglich gepackt werden können: 1887 schlug Lord Kelvin eine Packung vor, bei der nur eine feste kubische Wabe mit sehr leicht gekrümmten Flächen verwendet wurde. Im Jahr 1993 haben Denis Weaire und Robert Phelan die Weaire-Phelan-Struktur vorgeschlagen, die weniger Fläche nutzt, um Zellen mit gleichem Volumen zu trennen als Kelvins Schaum.

In Puzzles und Freizeit Mathematik:
Tessellationen haben viele Arten von Fliesenpuzzles hervorgebracht, von traditionellen Puzzles (mit unregelmäßigen Holzstücken oder Pappkartons) und dem Tangram bis hin zu moderneren Puzzles, die oft eine mathematische Grundlage haben. Zum Beispiel sind Polyiamanten und Polyominoe Figuren von regelmäßigen Dreiecken und Quadraten, die oft in Fliesenpuzzles verwendet werden. Autoren wie Henry Dudeney und Martin Gardner haben die Tessellation in der Freizeit-Mathematik vielfach genutzt. Zum Beispiel erfand Dudeney die Klapp-Dissektion, während Gardner über die Rep-Kachel schrieb, eine Form, die in kleinere Kopien derselben Form zerlegt werden kann. Inspiriert von Gardners Artikeln in Scientific American fand die Amateur-Mathematikerin Marjorie Rice vier neue Tessellationen mit Fünfecken. Das Quadrieren des Quadrats ist das Problem, ein ganzzahliges Quadrat (eines, dessen Seiten eine ganze Zahl haben) mit nur anderen ganzzahligen Quadraten zu kacheln. Eine Erweiterung ist die Quadratur der Ebene, indem sie mit Quadraten belegt wird, deren Größen alle natürliche Zahlen ohne Wiederholungen sind; James und Frederick Henle bewiesen, dass dies möglich war.