Musique et mathématiques

La théorie musicale n’a pas de fondement axiomatique dans les mathématiques modernes, mais la base du son musical peut être décrite mathématiquement (en acoustique) et présente «un nombre remarquable de propriétés numériques». Les éléments de la musique tels que sa forme, son rythme et son mètre, les hauteurs de ses notes et le tempo de son pouls peuvent être liés à la mesure du temps et de la fréquence, offrant des analogies prêtes dans la géométrie.

La relation étroite entre la musique et les mathématiques a été étudiée depuis l’antiquité: un exemple classique est donné par l’école pythagoricienne, à laquelle la découverte (les pythagoriciens leur attribuent des significations mystiques), selon laquelle les différents tons d’une échelle sont liés au rapport entre les nombres entiers: un licou coupé en deux sonne l’octave supérieure, réduit à son 3/4 le quatrième, réduit à son 2/3 le cinquième, et ainsi de suite.

Beaucoup de mathématiques appliquées dans le domaine de la musique proviennent de l’étude de la physique acoustique et des problèmes connexes. Si la même division rythmique du compteur musical est indiquée par une fraction mathématique, nous savons qu’à la base de tout bruit, il y a une contribution d’innombrables ondes stationnaires, et que tout son peut être décomposé en ondes sinusoïdales par l’analyse harmonique ( exprimé mathématiquement avec l’algorithme de transformée de Fourier).

La tentative de structurer et de communiquer de nouvelles façons de composer et d’entendre de la musique a conduit à des applications musicales de la théorie des ensembles, de l’algèbre abstraite et de la théorie des nombres. Certains compositeurs ont incorporé le nombre d’or et les nombres de Fibonacci dans leur travail.

D’une manière plus abstraite, la musique était aussi liée aux mathématiques dans son aspect compositionnel (qui exige la distribution des sons entre les différentes hauteurs, à différents moments et entre les différentes voix des interprètes). Cette sorte d’analyse musicale a connu des musiciens illustres à travers les siècles (pensez aux géométries musicales des canons de Bach) et il a connu de nouvelles fortunes même dans les temps les plus proches (par exemple, l’Institut Kranischstein à Darmstadt, Cologne Radio Electronic Music Studio, Centre de phonologie musicale de Milan et IRCAM à Paris).

Bien que l’on sache que les anciens Chinois, Indiens, Égyptiens et Mésopotamiens ont étudié les principes mathématiques du son, les pythagoriciens (en particulier Philolaos et Archytas) de la Grèce antique ont été les premiers chercheurs à avoir étudié l’expression des échelles musicales. , en particulier les ratios de petits entiers. Leur doctrine centrale était que « toute la nature consiste en une harmonie provenant du nombre ».

Depuis l’époque de Platon, l’harmonie était considérée comme une branche fondamentale de la physique, maintenant connue sous le nom d’acoustique musicale. Les premiers théoriciens indiens et chinois montrent des approches similaires: tous ont cherché à montrer que les lois mathématiques des harmoniques et des rythmes étaient fondamentales non seulement pour notre compréhension du monde mais pour le bien-être humain. Confucius, comme Pythagore, considérait les petits nombres 1,2,3,4 comme la source de toute perfection.

A partir du XVIIe siècle, de nombreux musiciens sont venus à l’épreuve de solides connaissances mathématiques (par exemple, Giuseppe Tartini a témoigné dans un traité de musique selon la vraie science de l’harmonie en 1754 et Iannis Xenakis en Musique formalisée en 1971, Pierre Boulez et Philip Glass diplômés en mathématiques et ont été inspirés par leur art).

Sans les limites de la structure rythmique – un arrangement fondamentalement égal et régulier de la répétition, de l’accent, de la phrase et de la durée du pouls – la musique ne serait pas possible. L’utilisation musicale moderne de termes comme mètre et mesure reflète également l’importance historique de la musique, avec l’astronomie, dans le développement du comptage, de l’arithmétique et de la mesure exacte du temps et de la périodicité qui est fondamentale pour la physique.

Les éléments de forme musicale construisent souvent des proportions strictes ou des structures hypermétriques (puissances des nombres 2 et 3).

La forme musicale est le plan par lequel un court morceau de musique est prolongé. Le terme «plan» est également utilisé dans l’architecture, à laquelle la forme musicale est souvent comparée. Comme l’architecte, le compositeur doit prendre en compte la fonction à laquelle l’œuvre est destinée et les moyens disponibles, pratiquer l’économie et faire usage de la répétition et de l’ordre. Les types communs de formes connues sous le nom de binaire et ternaire («double» et «triple») démontrent une fois de plus l’importance des petites valeurs intégrales pour l’intelligibilité et l’attrait de la musique.

Le phénomène de battement est lorsque deux notes de fréquence similaires (mais pas identiques) sont jouées. Il y a alors l’impression d’entendre un son de fréquence proche de ceux des deux premiers, dont l’intensité oscille cependant avec le temps aussi lentement que les fréquences des deux premiers sons étaient proches. Pour cette raison, les temps sont utilisés pour déterminer s’il y a des notes qui tombent ou qui montent lorsque vous accordez un instrument.

L’explication de ce phénomène réside en partie dans la nature physique des ondes sonores, et en partie dans la façon dont notre oreille perçoit les sons. Si nous concentrons notre attention sur le chevauchement de deux tons purs (c’est-à-dire qu’ils peuvent être représentés par des ondes sinusoïdales) et supposons, pour simplifier,

Une gamme musicale est un ensemble discret d’emplacements utilisés pour faire ou décrire de la musique. L’échelle la plus importante dans la tradition occidentale est l’échelle diatonique, mais beaucoup d’autres ont été utilisés et proposés dans différentes époques et parties du monde. Chaque hauteur correspond à une fréquence particulière, exprimée en hertz (Hz), parfois appelée cycles par seconde (c.p.). Une gamme a un intervalle de répétition, normalement l’octave. L’octave de n’importe quelle hauteur correspond à une fréquence exactement le double de celle d’une hauteur donnée.

Les superoctaves qui réussissent sont des hauteurs trouvées aux fréquences quatre, huit, seize fois, et ainsi de suite, de la fréquence fondamentale. Emplacements à des fréquences de la moitié, un quart, un huitième et ainsi de suite de la fondamentale sont appelés suboctaves. Il n’y a pas de cas dans l’harmonie musicale où, si une hauteur donnée est considérée comme concordante, ses octaves sont considérées autrement. Par conséquent, toute note et ses octaves seront généralement trouvées de la même manière dans les systèmes de musique (par exemple, toutes seront appelées doh ou A ou Sa, selon le cas).

Lorsqu’elle est exprimée sous la forme d’une largeur de bande de fréquence, une octave A2-A3 s’étend de 110 Hz à 220 Hz (intervalle = 110 Hz). L’octave suivante s’étendra de 220 Hz à 440 Hz (span = 220 Hz). La troisième octave s’étend de 440 Hz à 880 Hz (span = 440 Hz) et ainsi de suite. Chaque octave successive couvre deux fois la plage de fréquences de l’octave précédente.

Parce que nous nous intéressons souvent aux relations ou rapports entre les hauteurs (appelés intervalles) plutôt qu’aux pas précis eux-mêmes pour décrire une échelle, il est habituel de se référer à tous les hauteurs d’échelle en termes de rapport d’une hauteur particulière, est donné la valeur d’un (souvent écrit 1/1), généralement une note qui fonctionne comme la tonique de l’échelle. Pour la comparaison de taille d’intervalle, les centimes sont souvent utilisés.

Il existe deux grandes familles de systèmes d’accord: le tempérament égal et le réglage juste. Les échelles de tempérament égales sont construites en divisant une octave en intervalles qui sont égaux sur une échelle logarithmique, ce qui donne des échelles parfaitement égales, mais avec des rapports de fréquences qui sont des nombres irrationnels. Seules les échelles sont construites en multipliant les fréquences par des nombres rationnels, ce qui se traduit par des rapports simples entre les fréquences, mais avec des divisions d’échelle qui sont inégales.

Une différence majeure entre les accords de tempérament égaux et les justes accords est la différence de battement acoustique lorsque deux notes sont retenues ensemble, ce qui affecte l’expérience subjective de la consonance et de la dissonance. Ces deux systèmes, et la grande majorité de la musique en général, ont des échelles qui se répètent sur l’intervalle de chaque octave, ce qui est défini comme un rapport de fréquence de 2: 1. En d’autres termes, chaque fois que la fréquence est doublée, l’échelle donnée se répète.

Voici les fichiers Ogg Vorbis démontrant la différence entre l’intonation juste et le tempérament égal. Vous devrez peut-être jouer les échantillons plusieurs fois avant de pouvoir choisir la différence.

Deux ondes sinusoïdales jouées consécutivement – cet échantillon a un demi-pas à 550 Hz (C♯ dans l’échelle d’intonation juste), suivi d’un demi-pas à 554,37 Hz (C♯ dans l’échelle du tempérament égal).
Mêmes deux notes, contre une pédale A440 – cet échantillon consiste en une « dyade ». La note basse est une constante A (440 Hz dans chaque échelle), la note supérieure est un C♯ dans l’échelle de tempérament égal pour le premier 1 « , et un C♯ dans l’échelle d’intonation juste pour le dernier 1 ». Les différences de phase facilitent le choix de la transition par rapport à l’échantillon précédent.

L’accord à 5 limites, la forme la plus courante d’intonation juste, est un système d’accord utilisant des tons qui sont des harmoniques de nombre régulier d’une seule fréquence fondamentale. C’était l’une des échelles que Johannes Kepler présentait dans ses Harmonices Mundi (1619) à propos du mouvement planétaire. La même échelle a été donnée sous forme transposée par le mathématicien écossais et théoricien de la musique, Alexander Malcolm, en 1721 dans son «Traité de Musick: Spéculatif, Pratique et Historique», et par le théoricien Jose Wuerschmidt au 20ème siècle. Une forme de celui-ci est utilisée dans la musique du nord de l’Inde.

Le compositeur américain Terry Riley en a également utilisé la forme inversée dans sa « Harpe de New Albion ». L’intonation juste donne des résultats supérieurs quand il y a peu ou pas de progression d’accords: les voix et les autres instruments gravitent à l’intonation juste quand c’est possible. Cependant, il donne deux intervalles de tons entiers différents (9: 8 et 10: 9) parce qu’un instrument accordé fixe, tel qu’un piano, ne peut pas changer de clé. Pour calculer la fréquence d’une note dans une échelle donnée en termes de rapports, le rapport de fréquence est multiplié par la fréquence tonique. Par exemple, avec un tonique de A4 (A naturel au-dessus du milieu C), la fréquence est de 440 Hz, et une cinquième juste au-dessus (E5) est simplement 440 × (3: 2) = 660 Hz.

L’accord pythagoricien est basé uniquement sur les consonances parfaites, l’octave (parfaite), la quinte parfaite et la quinte parfaite. Ainsi le tiers majeur est considéré non pas un tiers mais un ditone, littéralement « deux tons », et est (9: 8) 2 = 81:64, plutôt que l’indépendant et harmonique juste 5: 4 = 80:64 directement au-dessous. Un ton entier est un intervalle secondaire, dérivé de deux quintes parfaites (3: 2) 2 = 9: 8.

Le troisième majeur juste, 5: 4 et troisième mineur, 6: 5, sont une virgule syntonique, 81:80, à l’exception de leurs équivalents pythagoriciens 81:64 et 32:27 respectivement. Selon Carl Dahlhaus (1990, p 187), «le tiers dépendant se conforme au pythagoricien, le tiers indépendant à l’accord harmonique des intervalles».

La musique de pratique courante occidentale ne peut généralement pas être jouée juste à l’intonation mais nécessite une échelle systématiquement tempérée. Le tempérament peut impliquer soit les irrégularités du tempérament du puits, soit être construit comme un tempérament régulier, soit une certaine forme de tempérament égal ou une autre mésopothe régulière, mais dans tous les cas, il impliquera les caractéristiques fondamentales du tempérament meantone. Par exemple, la racine de l’accord ii, si elle est accordée à un cinquième au-dessus de la dominante, serait un ton entier majeur (9: 8) au-dessus de la tonique. Si vous accordez un tiers juste mineur (6: 5) en dessous d’un degré juste sous-dominé de 4: 3, cependant, l’intervalle de la tonique équivaudrait à un son mineur mineur (10: 9). Le tempérament Meantone réduit la différence entre 9: 8 et 10: 9. Leur rapport, (9: 8) / (10: 9) = 81:80, est traité comme unisson. L’intervalle 81:80, appelé la virgule ou virgule syntonique de Didyme, est la virgule clé du tempérament mésotonique.

À tempérament égal, l’octave est divisée en parties égales sur l’échelle logarithmique. Bien qu’il soit possible de construire une échelle de tempérament égale avec n’importe quel nombre de notes (par exemple, le système de tonalité arabe à 24 tons), le nombre le plus commun est 12, ce qui constitue l’échelle chromatique à tempérament égal. Dans la musique occidentale, une division en douze intervalles est généralement supposée, sauf indication contraire.

Pour l’échelle chromatique, l’octave est divisée en douze parties égales, chaque demi-ton (demi-ton) étant un intervalle de la douzième racine de deux, de sorte que douze de ces demi-mesures égales totalisent exactement une octave. Avec les instruments à frettes, il est très utile d’utiliser un tempérament égal pour que les frettes s’alignent uniformément sur les cordes. Dans la tradition musicale européenne, le tempérament égal était utilisé pour la musique de luth et de guitare bien plus tôt que pour d’autres instruments, tels que les claviers musicaux. En raison de cette force historique, le tempérament égal à douze tons est maintenant le système d’intonation dominant dans le monde occidental et dans une grande partie du monde non occidental.

Des échelles également tempérées ont été utilisées et des instruments construits en utilisant divers autres nombres d’intervalles égaux. Le 19ième tempérament égal, proposé et utilisé par Guillaume Costeley au 16ème siècle, utilise 19 tons espacés uniformément, offrant de meilleurs tiers majeurs et de meilleurs tiers mineurs qu’un tempérament normal de 12 demi-tons au prix d’un cinquième plus plat. L’effet global est celui d’une plus grande consonance. 24 tempérament égal, avec 24 tons également espacés, est répandu dans la pédagogie et la notation de la musique arabe. Cependant, en théorie et en pratique, l’intonation de la musique arabe est conforme aux rapports rationnels, par opposition aux rapports irrationnels des systèmes également tempérés.

Alors que tout son analogique au quart de tempe égale est totalement absent des systèmes d’intonation arabes, des analogues à trois tons, ou neutres, se produisent fréquemment. Ces secondes neutres, cependant, varient légèrement dans leurs rapports dépendant du maqam, ainsi que de la géographie. En effet, l’historien de la musique arabe Habib Hassan Touma a écrit que «l’ampleur de la déviation de cette étape musicale est un ingrédient crucial dans la saveur particulière de la musique arabe.» Pour tempérer l’échelle en divisant l’octave en vingt-quatre quarts de ton égale ce serait renoncer à l’un des éléments les plus caractéristiques de cette culture musicale.  »

Le graphique suivant montre avec quelle précision diverses échelles de tempérament égal approximativement trois identités harmoniques importantes: le tiers majeur (5ème harmonique), le 5ème parfait (3ème harmonique), et le « septième harmonique » (7ème harmonique). [Note: les chiffres au-dessus des barres désignent l’échelle de tempérament égal (c.-à-d., « 12 » désigne l’échelle de tempérament égal à 12 tons, etc.)]

Le problème de l’intonation, comme mentionné ci-dessus, vient du besoin de pouvoir accorder des instruments à cordes tels que le piano ou les cordes pour qu’ils puissent jouer dans différentes nuances. Aucune des deux méthodes jusqu’à présent ne résout ce problème avec précision, comme on peut le voir d’après la procédure suivante.

Une façon d’accorder un instrument de réglage fixe est de préserver les cinquièmes plages d’une corde de base. De cette façon, il est accordé en suivant le soi-disant cycle de boucle: Do, Sol, Roi, La, Moi, Si, Do, Do, Solò, Reè, La, Fa (ou Miè), Do sept octaves retourne à la fondamentale Remarque. Il est facile de voir qu’aucune des méthodes examinées ici ne peut faire coïncider le Do8 avec celui obtenu à partir du cycle: en fait, pour le tempérament naturel comme pour le pythagoricien, les fréquences d’octave sont multiples de puissances de deux, alors que dans le cycle de boucle les fréquences sont multiples de puissances de 3/2: aucune puissance de deux n’est aussi une puissance de 3/2. Cet argument s’applique également aux autres rapports considérés.

On voit donc qu’un accordeur qui veut accorder un outil en essayant de préserver toutes les bonnes portées (troisième, quatrième, cinquième) se heurterait à un problème insoluble et devrait toujours chercher un compromis: c’est ce qui équivaut au tempérament.

La théorie des ensembles musicaux utilise le langage de la théorie mathématique des ensembles de manière élémentaire pour organiser les objets musicaux et décrire leurs relations. Pour analyser la structure d’une musique (typiquement atonale) en utilisant la théorie des ensembles musicaux, on commence généralement par un ensemble de sons qui peuvent former des motifs ou des accords. En appliquant des opérations simples telles que la transposition et l’inversion, on peut découvrir des structures profondes dans la musique. Les opérations telles que la transposition et l’inversion sont appelées isométries car elles préservent les intervalles entre les tons d’un ensemble.

S’étendant sur les méthodes de la théorie des ensembles musicaux, certains théoriciens ont utilisé l’algèbre abstraite pour analyser la musique. Par exemple, les classes de hauteur d’une octave tempérée forment un groupe abélien de 12 éléments. Il est possible de décrire l’intonation juste en termes de groupe abélien libre.

La théorie de la transformation est une branche de la théorie musicale développée par David Lewin. La théorie permet une grande généralité parce qu’elle met l’accent sur les transformations entre les objets musicaux plutôt que sur les objets musicaux eux-mêmes.

Les théoriciens ont également proposé des applications musicales de concepts algébriques plus sophistiqués. La théorie des tempéraments réguliers a été largement développée avec un large éventail de mathématiques sophistiquées, par exemple en associant chaque tempérament régulier à un point rationnel sur un Grassmannien.

Des analyses réelles et complexes ont également été utilisées, par exemple en appliquant la théorie de la fonction zêta de Riemann à l’étude des divisions égales de l’octave.

Le développement des mathématiques musicales contemporaines (de l’analyse à la composition, en passant par le geste dans l’interprétation musicale) est principalement dû à la contribution du mathématicien et musicien Guerino Mazzola, professeur aux États-Unis à l’Université du Minnesota.

Le SMCM, Société pour les mathématiques et l’informatique en musique, organise des conférences bisannuelles sur les résultats de la recherche en mathématiques et en musique.