Les mathématiques et l’architecture sont liées, puisque, comme pour les autres arts, les architectes utilisent les mathématiques pour plusieurs raisons. Outre les mathématiques nécessaires à l’ingénierie des bâtiments, les architectes utilisent la géométrie: pour définir la forme spatiale d’un bâtiment; des pythagoriciens du VIe siècle av. J.-C., pour créer des formes jugées harmonieuses, et ainsi disposer les bâtiments et leur environnement selon des principes mathématiques, esthétiques et parfois religieux; décorer des bâtiments avec des objets mathématiques tels que des tessellations; et pour atteindre les objectifs environnementaux, tels que la réduction de la vitesse du vent autour des bases des grands immeubles.

Dans l’Egypte ancienne, la Grèce antique, l’Inde et le monde islamique, des bâtiments comprenant des pyramides, des temples, des mosquées, des palais et des mausolées ont été aménagés avec des proportions spécifiques pour des raisons religieuses. Dans l’architecture islamique, des formes géométriques et des motifs de mosaïques géométriques sont utilisés pour décorer les bâtiments, à l’intérieur et à l’extérieur. Certains temples hindous ont une structure semblable à une fractale où les parties ressemblent à l’ensemble, transmettant un message sur l’infini dans la cosmologie hindoue. Dans l’architecture chinoise, les tulou de la province du Fujian sont des structures défensives circulaires et communautaires. Au XXIe siècle, l’ornementation mathématique est de nouveau utilisée pour couvrir les bâtiments publics.

Dans l’architecture de la Renaissance, des architectes comme Leon Battista Alberti, Sebastiano Serlio et Andrea Palladio ont délibérément souligné la symétrie et la proportion, influencés par De architectura de la Rome antique de Vitruve et l’arithmétique des pythagoriciens de la Grèce antique. À la fin du XIXe siècle, Vladimir Shukhov en Russie et Antoni Gaudí à Barcelone ont été les pionniers de l’utilisation des structures hyperboloïdes; dans la Sagrada Família, Gaudí a également incorporé des paraboloïdes hyperboliques, des tessellations, des arcs caténaires, des caténoïdes, des hélicoïdes et des surfaces réglées. Au XXe siècle, des styles tels que l’architecture moderne et le déconstructivisme ont exploré différentes géométries pour obtenir les effets désirés. Des surfaces minimes ont été exploitées dans des toits de tente semblables à ceux de l’aéroport international de Denver, tandis que Richard Buckminster Fuller a été le pionnier de l’utilisation des structures à coque mince solides connues sous le nom de dômes géodésiques.

Les architectes Michael Ostwald et Kim Williams, considérant les relations entre l’architecture et les mathématiques, notent que les champs tels qu’ils sont généralement compris peuvent sembler faiblement connectés, puisque l’architecture est une profession qui concerne la pratique de la construction, alors que les mathématiques sont purement étude du nombre et d’autres objets abstraits. Mais, soutiennent-ils, les deux sont fortement liés, et ont été depuis l’antiquité. Dans la Rome antique, Vitruve a décrit un architecte comme un homme qui connaissait suffisamment d’autres disciplines, principalement la géométrie, pour pouvoir superviser des artisans qualifiés dans tous les autres domaines nécessaires, tels que les maçons et les charpentiers. Il en va de même au Moyen Age, où les diplômés apprennent l’arithmétique, la géométrie et l’esthétique en même temps que les syllabus de grammaire, de logique et de rhétorique (le trivium) dans des salles élégantes construites par de grands maîtres. Un maître d’œuvre au sommet de sa profession reçut le titre d’architecte ou d’ingénieur. À la Renaissance, le quadrivium de l’arithmétique, de la géométrie, de la musique et de l’astronomie est devenu un programme supplémentaire attendu de l’homme de la Renaissance, comme Leon Battista Alberti. De même en Angleterre, Sir Christopher Wren, connu aujourd’hui comme architecte, fut d’abord un astronome renommé.

Williams et Ostwald, donnant un aperçu de l’interaction des mathématiques et de l’architecture depuis 1500 selon l’approche du sociologue allemand Theodor Adorno, identifient trois tendances parmi les architectes, à savoir: être révolutionnaire, introduire des idées entièrement nouvelles; réactionnaire, ne pas introduire de changement; ou revivaliste, en fait à reculons. Ils soutiennent que les architectes ont évité de se tourner vers les mathématiques pour s’inspirer de l’époque du renouveau. Cela expliquerait pourquoi dans les périodes revivalistes, telles que le renouveau gothique dans l’Angleterre du 19ème siècle, l’architecture avait peu de lien avec les mathématiques. De même, ils notent que dans les périodes réactionnaires comme le maniérisme italien d’environ 1520 à 1580, ou les mouvements baroques et palladiens du XVIIe siècle, les mathématiques étaient à peine consultées. En revanche, les mouvements révolutionnaires du début du XXe siècle, tels que le futurisme et le constructivisme, rejetaient activement les idées anciennes, adoptaient les mathématiques et conduisaient à l’architecture moderniste. Vers la fin du XXe siècle également, la géométrie fractale a rapidement été utilisée par les architectes, tout comme le pavage apériodique, pour fournir des revêtements intéressants et attrayants aux bâtiments.

Les architectes utilisent les mathématiques pour plusieurs raisons, laissant de côté l’utilisation nécessaire des mathématiques dans l’ingénierie des bâtiments. Premièrement, ils utilisent la géométrie car elle définit la forme spatiale d’un bâtiment. Deuxièmement, ils utilisent les mathématiques pour concevoir des formes considérées comme belles ou harmonieuses. Depuis l’époque des pythagoriciens avec leur philosophie religieuse du nombre, les architectes de la Grèce antique, de la Rome antique, du monde islamique et de la Renaissance italienne ont choisi les proportions de l’environnement bâti – les bâtiments et leur environnement – selon des critères mathématiques et esthétiques. et parfois des principes religieux. Troisièmement, ils peuvent utiliser des objets mathématiques tels que des tessellations pour décorer des bâtiments. Quatrièmement, ils peuvent utiliser les mathématiques sous forme de modélisation informatique pour atteindre les objectifs environnementaux, par exemple minimiser les courants d’air tourbillonnants à la base des bâtiments élevés.

Vitruvius:
L’influent architecte romain Vitruvius a soutenu que la conception d’un bâtiment tel qu’un temple dépend de deux qualités, proportions et symétrie. La proportion garantit que chaque partie d’un bâtiment se rapporte harmonieusement à toutes les autres parties. Symmetria dans l’utilisation de Vitruvius signifie quelque chose de plus proche du terme anglo-saxon modularité que de la symétrie miroir, puisqu’il concerne à nouveau l’assemblage de parties (modulaires) dans tout le bâtiment. Dans sa basilique de Fano, il utilise des rapports de petits entiers, en particulier les nombres triangulaires (1, 3, 6, 10, …) pour proportionner la structure en modules (vitruviens). Ainsi, la largeur de la basilique à la longueur est 1: 2; l’allée qui l’entoure est aussi haute que large, 1: 1; les colonnes ont cinq pieds d’épaisseur et cinquante pieds de haut, 1:10.

Vitruve a nommé trois qualités requises de l’architecture dans son De architectura, c. 15 B.C.: fermeté, utilité (ou « Commodity » dans l’anglais du 16ème siècle de Henry Wotton), et délice. Ceux-ci peuvent être utilisés comme des catégories pour classer les façons dont les mathématiques sont utilisées dans l’architecture. La fermeté englobe l’utilisation des mathématiques pour assurer la mise en place d’un bâtiment, d’où les outils mathématiques utilisés dans la conception et pour soutenir la construction, par exemple pour assurer la stabilité et modéliser la performance. L’utilité découle en partie de l’application efficace des mathématiques, du raisonnement et de l’analyse des relations spatiales et autres dans une conception. Le plaisir est un attribut du bâtiment résultant, résultant de l’incorporation de relations mathématiques dans le bâtiment; il inclut des qualités esthétiques, sensuelles et intellectuelles.

Le panthéon:
Le Panthéon de Rome a survécu intacte, illustrant la structure romaine classique, la proportion et la décoration. La structure principale est un dôme, l’apex restant ouvert comme un oculus circulaire pour laisser entrer la lumière; il est précédé d’une courte colonnade avec un fronton triangulaire. La hauteur de l’oculus et le diamètre du cercle intérieur sont les mêmes, 43,3 mètres (142 pieds), de sorte que tout l’intérieur s’insérerait exactement dans un cube, et l’intérieur pourrait loger une sphère du même diamètre. Ces dimensions ont plus de sens lorsqu’elles sont exprimées dans les anciennes unités de mesure romaines: le dôme couvre 150 pieds romains); l’oculus a 30 pieds romains de diamètre; la porte est de 40 pieds romains de haut. Le Panthéon reste le plus grand dôme en béton non armé du monde.

Le premier traité d’architecture de la Renaissance fut le 1450 De re aedificatoria de Leon Battista Alberti (Sur l’art de la construction); il est devenu le premier livre imprimé sur l’architecture en 1485. Il était en partie basé sur De architectura de Vitruve et, par l’intermédiaire de Nicomachus, l’arithmétique de Pythagore. Alberti commence avec un cube et en dérive des rapports. Ainsi, la diagonale d’une face donne le rapport 1: √2, tandis que le diamètre de la sphère qui circonscrit le cube donne 1: √3. Alberti a également documenté la découverte de la perspective linéaire par Filippo Brunelleschi, développée pour permettre la conception de bâtiments qui auraient l’air magnifiquement proportionnés lorsqu’ils sont vus à une distance convenable.

Le texte suivant a été Regole generali d’architettura (Règles générales d’architecture) de Sebastiano Serlio; le premier volume est apparu à Venise en 1537; le volume de 1545 (livres 1 et 2) couvrait la géométrie et la perspective. Deux des méthodes de Serlio pour construire des perspectives étaient fausses, mais cela n’a pas empêché son travail d’être largement utilisé.

En 1570, Andrea Palladio publie à Venise l’influent I quattro libri dell’architettura (Les Quatre Livres d’Architecture). Ce livre largement imprimé était largement responsable de la diffusion des idées de la Renaissance italienne à travers l’Europe, aidé par des partisans comme le diplomate anglais Henry Wotton avec ses 1624 Les éléments de l’architecture. Les proportions de chaque pièce dans la villa ont été calculées sur des ratios mathématiques simples comme 3: 4 et 4: 5, et les différentes pièces de la maison étaient liées par ces ratios. Les architectes précédents avaient utilisé ces formules pour équilibrer une seule façade symétrique; cependant, les conceptions de Palladio se rapportent à la villa entière, habituellement carrée. Palladio a permis une gamme de rapports dans le libri Quattro, indiquant:

Il y a sept types de pièces qui sont les plus belles et les mieux proportionnées et qui se révèlent meilleures: elles peuvent être rendues circulaires, bien qu’elles soient rares; ou carré; ou leur longueur sera égale à la diagonale du carré de la largeur; ou un carré et un tiers; ou un carré et demi; ou un carré et deux tiers; ou deux carrés.

En 1615, Vincenzo Scamozzi publia le traité de la fin de la Renaissance, L’Idée de l’architecture universelle (Idea dell’Architettura Universale). Il a tenté de relier la conception des villes et des bâtiments aux idées de Vitruve et des pythagoriciens, et aux idées plus récentes de Palladio.

XIXe siècle:
Des structures hyperboloïdes ont été utilisées à partir de la fin du XIXe siècle par Vladimir Choukhov pour les mâts, les phares et les tours de refroidissement. Leur forme frappante est esthétiquement intéressante et forte, utilisant économiquement des matériaux structuraux. La première tour hyperboloïde de Shukhov fut exposée à Nijni Novgorod en 1896.

Vingtième siècle
L’architecture moderne du mouvement du début du vingtième siècle, initiée par le constructivisme russe, utilisait la géométrie euclidienne rectiligne (aussi appelée cartésienne). Dans le mouvement De Stijl, l’horizontale et la verticale étaient considérées comme constituant l’universel. La forme architecturale consiste à rassembler ces deux tendances directionnelles, en utilisant des plans de toit, des plans de murs et des balcons, qui glissent ou se croisent, comme dans la Maison Rietveld Schröder de 1924 de Gerrit Rietveld.

Les architectes modernistes étaient libres d’utiliser des courbes aussi bien que des avions. La gare Arnos de Charles Holden, en 1933, possède un hall circulaire en brique avec un toit plat en béton. En 1938, le peintre du Bauhaus Laszlo Moholy-Nagy adopte les sept éléments biotechniques de Raoul Heinrich Francé, à savoir le cristal, la sphère, le cône, l’avion, la bande (cuboïdale), la tige (cylindrique) et la spirale, blocs de construction de base de l’architecture inspirée par la nature.

Le Corbusier a proposé une échelle anthropométrique des proportions dans l’architecture, le Modulor, basé sur la prétendue taille d’un homme. La Chapelle Notre Dame du Haut de Le Corbusier en 1955 utilise des courbes de forme libre non descriptibles dans les formules mathématiques. Les formes sont dites évocatrices de formes naturelles telles que la proue d’un navire ou la prière des mains. La conception est seulement à la plus grande échelle: il n’y a pas de hiérarchie de détails à des échelles plus petites, et donc pas de dimension fractale; Il en va de même pour d’autres bâtiments célèbres du XXe siècle comme l’Opéra de Sydney, l’aéroport international de Denver et le musée Guggenheim de Bilbao.

L’architecture contemporaine, selon l’opinion des 90 principaux architectes qui ont répondu à une enquête sur l’architecture mondiale de 2010, est extrêmement diversifiée; le meilleur a été jugé comme étant le musée Guggenheim de Frank Gehry, Bilbao.

L’aérogare de l’aéroport international de Denver, achevée en 1995, a un toit en toile supporté comme une surface minimale (c’est-à-dire, sa courbure moyenne est nulle) par des câbles en acier. Il évoque les montagnes enneigées du Colorado et les tentes tipis des Amérindiens.

L’architecte Richard Buckminster Fuller est célèbre pour la conception de structures à coque mince solides connues sous le nom de dômes géodésiques. Le dôme de la Biosphère de Montréal a une hauteur de 61 mètres (200 pieds); son diamètre est de 76 mètres (249 pieds).

L’Opéra de Sydney a un toit spectaculaire composé de voûtes blanches qui évoquent les voiles des navires; pour leur permettre de construire en utilisant des composants standardisés, les voûtes sont toutes composées de sections triangulaires de coques sphériques de même rayon. Ceux-ci ont la courbure uniforme requise dans toutes les directions.

Le mouvement déconstructiviste crée un désordre délibéré avec ce que Nikos Salingaros dans Une théorie de l’architecture appelle des formes aléatoires de grande complexité en utilisant des murs non parallèles, des grilles superposées et des surfaces 2D complexes, comme dans le Disney Concert Hall et le Musée Guggenheim de Frank Gehry. , Bilbao. Jusqu’au XXe siècle, les étudiants en architecture ont été obligés d’avoir des bases en mathématiques. Salingaros soutient que le premier «modernisme trop simpliste, politiquement motivé» et le déconstructivisme «anti-scientifique» ont effectivement séparé l’architecture des mathématiques. Il croit que ce «renversement des valeurs mathématiques» est nuisible, car «l’esthétique omniprésente» de l’architecture non mathématique forme les gens à «rejeter l’information mathématique dans l’environnement construit»; il soutient que cela a des effets négatifs sur la société.

L’Egypte ancienne:
Les pyramides de l’Egypte ancienne sont des tombes construites avec des proportions délibérément choisies, mais dont elles ont été débattues. L’angle de la face est d’environ 51 ° 85 ‘, et le rapport de la hauteur oblique à la moitié de la longueur de base est de 1,619, moins de 1% du nombre d’or. Si c’était la méthode de conception, cela impliquerait l’utilisation du triangle de Kepler (angle de face 51 ° 49 ‘). Cependant, il est plus probable que la pente des pyramides ait été choisie à partir du triangle 3-4-5 (angle de face 53 ° 8 ‘), connu du Rhyr Mathematical Papyrus (vers 1650 – 1550 av. ou du triangle avec rapport de base à hypoténuse 1: 4 / π (angle de face 51 ° 50 ‘).

L’utilisation possible du triangle 3-4-5 pour tracer des angles droits, comme pour le plan au sol d’une pyramide, et la connaissance du théorème de Pythagore que cela impliquerait, a été beaucoup affirmée. Il a d’abord été conjecturé par l’historien Moritz Cantor en 1882. On sait que les angles droits ont été tracés avec précision dans l’Egypte ancienne; que leurs arpenteurs ont utilisé des cordes nouées pour la mesure; que Plutarque a enregistré dans Isis et Osiris (environ 100 AD) que les Egyptiens ont admiré le triangle 3-4-5; et que le Berlin Papyrus 6619 du Moyen Empire (avant 1700 av. J.-C.) déclarait que «l’aire d’un carré de 100 est égale à celle de deux carrés plus petits, le côté de l’un étant ½ + ¼ du côté de l’autre». L’historien des mathématiques Roger L. Cooke observe qu ‘«il est difficile d’imaginer que quelqu’un s’intéresse à de telles conditions sans connaître le théorème de Pythagore». Contre cela, Cooke note qu’aucun texte égyptien avant 300 avant J.-C. ne mentionne réellement l’utilisation du théorème pour trouver la longueur des côtés d’un triangle, et qu’il y a des manières plus simples de construire un angle droit. Cooke conclut que la conjecture de Cantor reste incertaine: il devine que les anciens Egyptiens connaissaient probablement le théorème de Pythagore, mais qu ‘«il n’y a aucune preuve qu’ils l’utilisaient pour construire des angles droits».

Inde ancienne:
Vaastu Shastra, les anciens canons indiens de l’architecture et de l’urbanisme, utilise des dessins symétriques appelés mandalas. Des calculs complexes sont utilisés pour arriver aux dimensions d’un bâtiment et de ses composants. Les dessins sont destinés à intégrer l’architecture avec la nature, les fonctions relatives de diverses parties de la structure, et les anciennes croyances utilisant des motifs géométriques (yantra), la symétrie et les alignements directionnels. Cependant, les premiers constructeurs peuvent avoir atteint des proportions mathématiques par accident. Le mathématicien Georges Ifrah note que de simples « tours » avec de la ficelle et des piquets peuvent être utilisés pour tracer des formes géométriques, telles que des ellipses et des angles droits.

Les mathématiques des fractales ont été utilisées pour montrer que la raison pour laquelle les bâtiments existants ont un attrait universel et sont visuellement satisfaisants est parce qu’ils fournissent au spectateur un sens de l’échelle à différentes distances de vision. Par exemple, dans les grandes guérites gopuram des temples hindous tels que le temple Virupaksha à Hampi construit au VIIe siècle, et d’autres comme le temple Kandariya Mahadev à Khajuraho, les parties et le tout ont le même caractère, avec une dimension fractale dans le plage de 1,7 à 1,8. Le groupe de petites tours (shikhara, littéralement «montagne») autour de la plus haute tour centrale qui représente le mont Kailash, demeure du Seigneur Shiva, représente la répétition sans fin des univers dans la cosmologie hindoue. Le savant des études religieuses William J. Jackson a observé le motif des tours groupées entre de plus petites tours, elles-mêmes groupées parmi des tours encore plus petites, qui:

La forme idéale artificée gracieusement suggère les niveaux ascendants infinis de l’existence et de la conscience, en élargissant les tailles s’élevant vers la transcendance au-dessus, et en même temps logeant le sacré au plus profond de l’intérieur.

Le temple de Meenakshi Amman est un grand complexe avec de nombreux sanctuaires, avec les rues de Madurai disposées concentriquement autour d’elle selon les shastras. Les quatre portes sont de hautes tours (gopurams) avec une structure répétitive de type fractal comme à Hampi. Les enceintes autour de chaque sanctuaire sont rectangulaires et entourées de hauts murs de pierre.

La Grèce ancienne:
Pythagore (vers 569 – vers 475 av. J.-C.) et ses disciples, les pythagoriciens, soutenaient que «toutes choses sont des nombres». Ils ont observé les harmonies produites par les notes avec des rapports de fréquence petits-entiers spécifiques, et ont soutenu que les bâtiments devraient également être conçus avec de tels rapports. Le mot grec symmetria désignait à l’origine l’harmonie des formes architecturales dans des rapports précis, depuis les moindres détails d’un bâtiment jusqu’à sa conception complète.

Le Parthénon mesure 69,5 mètres de long, 30,9 mètres de large et 13,7 mètres de haut. Cela donne un rapport de largeur à longueur de 4: 9, et le même pour la hauteur à la largeur. Les mettre ensemble donne la hauteur: largeur: longueur de 16:36:81, ou pour le plaisir des Pythagoriciens 42:62:92. Ceci définit le module comme 0.858 m. Un rectangle 4: 9 peut être construit comme trois rectangles contigus avec des côtés dans le rapport 3: 4. Chaque demi-rectangle est alors un triangle rectangle pratique de 3: 4: 5, permettant de vérifier les angles et les côtés avec une corde convenablement nouée. La zone intérieure (naos) a également des proportions de 4: 9 (21,44 mètres (70,3 pieds) de largeur sur 48,3 m de longueur); le rapport entre le diamètre des colonnes extérieures, 1,905 mètres (6,25 pieds), et l’espacement de leurs centres, 4,293 mètres (14,08 pieds), est également de 4: 9.

Le Parthénon est considéré par des auteurs tels que John Julius Norwich « le temple dorique le plus parfait jamais construit ». Ses raffinements architecturaux élaborés comprennent «une subtile correspondance entre la courbure du stylobate, la conicité des murs naos et l’entasis des colonnes». Entasis se réfère à la diminution subtile du diamètre des colonnes à mesure qu’elles montent. Le stylobate est la plate-forme sur laquelle se trouvent les colonnes. Comme dans d’autres temples grecs classiques, la plate-forme a une légère courbure ascendante parabolique pour évacuer l’eau de pluie et renforcer le bâtiment contre les tremblements de terre. Les colonnes pourraient donc être supposées se pencher vers l’extérieur, mais elles se pencheraient légèrement vers l’intérieur de sorte que si elles continuaient, elles se rencontreraient environ un mille au-dessus du centre du bâtiment; puisqu’ils sont tous de la même hauteur, la courbure du bord extérieur du stylobate est transmise à l’architrave et au toit au-dessus: «tous suivent la règle d’être construits aux courbes délicates».

Le nombre d’or était connu en 300 av. J.-C., quand Euclide décrivit la méthode de construction géométrique. On a fait valoir que le nombre d’or était utilisé dans la conception du Parthénon et d’autres bâtiments grecs anciens, ainsi que des sculptures, des peintures et des vases. Des auteurs plus récents tels que Nikos Salingaros, cependant, doutent de toutes ces affirmations. Les expériences de l’informaticien George Markowsky n’ont pas trouvé de préférence pour le rectangle d’or.

Architecture islamique:
L’historien de l’art islamique Antonio Fernandez-Puertas suggère que l’Alhambra, tout comme la Grande Mosquée de Cordoue, a été conçue en utilisant le pied hispano-musulman ou le codo d’environ 0,62 mètre (2,0 pieds). Dans la cour des Lions du palais, les proportions suivent une série de surds. Un rectangle avec les côtés 1 et √2 a (selon le théorème de Pythagore) une diagonale de √3, qui décrit le triangle rectangle fait par les côtés de la cour; la série continue avec √4 (donnant un rapport de 1: 2), √5 et ainsi de suite. Les motifs décoratifs sont pareillement proportionnés, √2 générant des carrés à l’intérieur des cercles et des étoiles à huit branches, √3 générant des étoiles à six branches. Il n’y a aucune preuve à l’appui des affirmations antérieures selon lesquelles le nombre d’or était utilisé dans l’Alhambra. La Cour des Lions est encadrée par la Salle des Deux Sœurs et la Salle des Abencerrajes; un hexagone régulier peut être tiré des centres de ces deux salles et des quatre coins intérieurs de la Cour des Lions.

La mosquée Selimiye à Edirne, en Turquie, a été construite par Mimar Sinan pour fournir un espace où le mihrab pourrait être vu de n’importe où à l’intérieur du bâtiment. Le très grand espace central est donc agencé comme un octogone, formé de 8 énormes piliers, et coiffé d’un dôme circulaire de 31,25 mètres de diamètre et de 43 mètres de haut. L’octogone est formé d’un carré à quatre demi-tons et, à l’extérieur, de quatre minarets d’une hauteur exceptionnelle de 83 mètres (272 pieds). Le plan du bâtiment est donc un cercle à l’intérieur d’un octogone à l’intérieur d’un carré.

Architecture moghole:
L’architecture moghole, telle que vue dans la ville impériale abandonnée de Fatehpur Sikri et le complexe du Taj Mahal, a un ordre mathématique distinctif et une forte esthétique basée sur la symétrie et l’harmonie.

Le Taj Mahal illustre l’architecture moghole, représentant à la fois le paradis et la puissance de l’empereur moghol Shah Jahan à travers son échelle, sa symétrie et sa décoration coûteuse. Le mausolée de marbre blanc, décoré de pietra dura, la grande porte (Darwaza-i rauza), d’autres bâtiments, les jardins et les chemins forment ensemble un design hiérarchisé unifié. Les bâtiments comprennent une mosquée en grès rouge à l’ouest, et un bâtiment presque identique, le Jawab ou «réponse» à l’est pour maintenir la symétrie bilatérale du complexe. Le charbagh formel (‘quadruple jardin’) est en quatre parties, symbolisant les quatre fleuves du paradis, et offrant des vues et des reflets du mausolée. Ceux-ci sont divisés à leur tour en 16 parterres.

Le complexe du Taj Mahal a été aménagé sur une grille, subdivisée en plus petites grilles. Les historiens de l’architecture Koch et Barraud sont d’accord avec les récits traditionnels qui donnent la largeur du complexe comme 374 verges moghols ou gaz, la zone principale étant trois carrés de 374-gaz. Ceux-ci ont été divisés en zones comme le bazar et le caravansérail en modules de 17 gaz; le jardin et les terrasses sont en modules de 23 gaz, et ont une largeur de 368 (16 x 23). Le mausolée, la mosquée et la maison d’hôtes sont disposés sur une grille de 7 gaz. Koch et Barraud observent que si un octogone, utilisé de façon répétée dans le complexe, reçoit des côtés de 7 unités, alors il a une largeur de 17 unités, ce qui peut aider à expliquer le choix des rapports dans le complexe.

Architecture chrétienne
La basilique chrétienne patriarcale de Haghia Sophia à Byzance (aujourd’hui Istanbul), construite pour la première fois en 537 (et reconstruite à deux reprises), fut pendant mille ans la plus grande cathédrale jamais construite. Il a inspiré de nombreux bâtiments plus tard, y compris le sultan Ahmed et d’autres mosquées de la ville. L’architecture byzantine comprend une nef couronnée par un dôme circulaire et deux demi-dômes, tous de même diamètre (31 mètres), avec cinq autres demi-dômes plus petits formant une abside et quatre coins arrondis d’un vaste rectangle intérieur. Cela a été interprété par les architectes médiévaux comme représentant le mondain ci-dessous (la base carrée) et les cieux divins ci-dessus (le dôme sphérique montant). L’empereur Justinien a utilisé deux géomètres, Isidore de Milet et Anthemius de Tralles comme architectes; Isidore a compilé les travaux d’Archimède sur la géométrie solide, et a été influencé par lui.

L’importance du baptême d’eau dans le christianisme s’est reflétée dans l’échelle de l’architecture baptismale. Le plus ancien, le Baptistère de Latran à Rome, construit en 440, a donné le ton aux baptistums octogonaux; la fosse baptismale à l’intérieur de ces bâtiments était souvent octogonale, bien que le plus grand baptistère d’Italie, à Pise, construit entre 1152 et 1363, soit circulaire, avec une police octogonale. Il mesure 54,86 mètres (180,0 pieds) de haut, avec un diamètre de 34,13 mètres (soit un ratio de 8: 5). Saint Ambroise écrivait que les fonts baptismaux et les baptêmes étaient octogonaux «parce que le huitième jour, en se levant, le Christ délie l’esclavage de la mort et reçoit les morts de leurs tombes». Saint Augustin a également décrit le huitième jour comme «éternelle … sanctifiée par la résurrection du Christ». Le Baptistère octogonal de Saint Jean, Florence, construit entre 1059 et 1128, est l’un des plus anciens bâtiments de cette ville, et l’un des derniers dans la tradition directe de l’Antiquité classique; Il a été extrêmement influent dans la Renaissance florentine subséquente, comme les architectes importants, y compris Francesco Talenti, Alberti et Brunelleschi l’ont utilisé comme le modèle de l’architecture classique.

Le numéro cinq est utilisé «exubéramment» dans l’église de pèlerinage de Saint Jean de Nepomuk de 1721 à Zelená hora, près de Žďár nad Sázavou en République tchèque, conçue par Jan Blažej Santini Aichel. La nef est circulaire, entourée de cinq paires de colonnes et de cinq dômes ovales alternant avec des absides ogivales. L’église a en outre cinq portes, cinq chapelles, cinq autels et cinq étoiles; une légende prétend que lorsque Saint Jean de Nepomuk fut martyrisé, cinq étoiles apparurent au-dessus de sa tête. L’architecture quintuple peut aussi symboliser les cinq plaies du Christ et les cinq lettres de « Tacui » (latin: « J’ai gardé le silence » [sur les secrets du confessionnal]).

Antoni Gaudí a utilisé une grande variété de structures géométriques, certaines étant des surfaces minimales, dans la Sagrada Família de Barcelone, commencée en 1882 (et non achevée en 2015). Ceux-ci comprennent les paraboloïdes hyperboliques et les hyperboloïdes de révolution, les tessellations, les arcs caténaires, les caténoïdes, les hélicoïdes et les surfaces réglées. Ce mélange varié de géométries est combiné de manière créative de différentes manières autour de l’église. Par exemple, dans la Façade de la Passion de la Sagrada Família, Gaudí a assemblé des « branches » de pierre en forme de paraboloïdes hyperboliques, qui se chevauchent à leurs sommets sans pour autant se rencontrer en un point. En revanche, dans la colonnade, il existe des surfaces paraboloïdales hyperboliques qui rejoignent d’autres structures pour former des surfaces non bornées. En outre, Gaudí exploite des motifs naturels, eux-mêmes mathématiques, avec des colonnes dérivées de la forme des arbres, et des linteaux fabriqués à partir de basalte non modifié naturellement fissuré (par refroidissement de la roche fondue) en colonnes hexagonales.

La cathédrale de Saint Mary de l’Assomption de San Francisco, construite en 1971, a un toit en forme de selle composé de huit segments de paraboloïdes hyperboliques disposés de façon à ce que la section transversale horizontale du toit soit un carré et que la croix soit une croix chrétienne. Le bâtiment est un carré de 77,7 mètres (255 pieds) de côté et de 57,9 mètres (190 pieds) de hauteur. La cathédrale de Brasilia de 1970 par Oscar Niemeyer fait un usage différent d’une structure hyperboloïde; il est construit à partir de 16 poutres en béton identiques, pesant chacune 90 tonnes, disposées en cercle pour former un hyperboloïde de révolution, les poutres blanches créant une forme de mains priant le ciel. Seul le dôme est visible de l’extérieur: la majeure partie du bâtiment est en sous-sol.

Plusieurs églises médiévales en Scandinavie sont circulaires, dont quatre sur l’île danoise de Bornholm. L’une des plus anciennes d’entre elles, Østerlars Church from c. 1160, a une nef circulaire autour d’une colonne massive en pierre circulaire, percée d’arcs et décorée d’une fresque. La structure circulaire a trois étages et était apparemment fortifiée, l’étage supérieur ayant servi de défense.

Décoration architecturale islamique:
Les bâtiments islamiques sont souvent décorés de motifs géométriques qui utilisent généralement plusieurs pavages mathématiques, formés de carreaux de céramique (girih, zellige) qui peuvent eux-mêmes être simples ou décorés de rayures. Les symétries telles que les étoiles avec six, huit ou multiples de huit points sont utilisées dans les modèles islamiques. Certains d’entre eux sont basés sur le ‘Khatem Sulemani’ ou le motif de sceau de Salomon, qui est une étoile à huit branches faite de deux carrés, l’un tourné à 45 degrés de l’autre sur le même centre. Les modèles islamiques exploitent plusieurs des 17 groupes de papier peint possibles; Dès 1944, Edith Müller a montré que l’Alhambra utilisait 11 groupes de papier peint dans ses décorations, tandis qu’en 1986, Branko Grünbaum affirmait avoir trouvé 13 groupes de papier peint dans l’Alhambra, affirmant que les 4 groupes restants ne se trouvaient nulle part ornement.

Décoration architecturale moderne:
Vers la fin du 20ème siècle, de nouveaux concepts mathématiques tels que la géométrie fractale et le carrelage apériodique ont été saisis par les architectes pour fournir des revêtements intéressants et attrayants pour les bâtiments. En 1913, l’architecte moderniste Adolf Loos avait déclaré que «l’ornement est un crime», influençant la pensée architecturale pour le reste du 20ème siècle. Au 21ème siècle, les architectes commencent à nouveau à explorer l’utilisation de l’ornement. L’ornementation du 21ème siècle est extrêmement diversifiée. Le centre de concerts et de conférences Harpa 2011 de Henning Larsen, à Reykjavik, a ce qui ressemble à un mur de cristal fait de gros blocs de verre. Le 2010 Ravensbourne College, à Londres, est décoré de façon décorative avec 28 000 carreaux d’aluminium anodisé en rouge, blanc et marron, avec des fenêtres circulaires de différentes tailles. La tessellation utilise trois types de carreaux, un triangle équilatéral et deux pentagones irréguliers. La bibliothèque Kanazawa Umimirai de Kazumi Kudo crée une grille décorative composée de petits blocs de verre circulaires encastrés dans des murs en béton.

Europe Défense:
L’architecture des fortifications a évolué des forteresses médiévales, qui avaient de hauts murs de maçonnerie, aux étoiles basses symétriques capables de résister aux bombardements d’artillerie entre le milieu du XVe et le XIXe siècle. La géométrie des formes d’étoiles était dictée par la nécessité d’éviter les zones mortes où l’infanterie attaquante pouvait s’abriter du feu défensif; les côtés des points en saillie étaient inclinés pour permettre à un tel feu de balayer le sol et de fournir un feu croisé (des deux côtés) au-delà de chaque point en saillie. Michel-Ange, Baldassare Peruzzi, Vincenzo Scamozzi et Sébastien Le Prestre de Vauban sont les architectes les plus connus.

L’historien de l’architecture Siegfried Giedion a soutenu que la fortification en forme d’étoile avait une influence déterminante sur la structure de la ville idéale de la Renaissance: «La Renaissance fut hypnotisée par un type de ville qui fut pendant un siècle et demi de Filarete à Scamozzi. tous les schémas utopiques: c’est la ville en forme d’étoile.  »

Chine Défense:
Dans l’architecture chinoise, les tulou de la province du Fujian sont des structures défensives circulaires et communales avec des murs principalement vierges et une seule porte en bois plaqué de fer, dont certaines datent du XVIe siècle. Les murs sont surmontés de toits qui descendent doucement vers l’extérieur et vers l’intérieur, formant un anneau. Le centre du cercle est une cour pavée ouverte, souvent avec un puits, entourée de galeries à colombage pouvant atteindre cinq étages.

Objectifs environnementaux
Les architectes peuvent également choisir la forme d’un bâtiment pour atteindre les objectifs environnementaux. Par exemple, le 30 St Mary Axe de Foster and Partners, à Londres, connu sous le nom de «The Gherkin» pour sa forme de concombre, est un solide de révolution conçu en utilisant la modélisation paramétrique. Sa géométrie a été choisie non seulement pour des raisons esthétiques, mais pour minimiser les courants d’air tourbillonnants à sa base. Malgré la surface apparemment incurvée du bâtiment, tous les panneaux de verre formant sa peau sont plats, à l’exception de la lentille en haut. La plupart des panneaux sont des quadrilatères, car ils peuvent être découpés dans du verre rectangulaire avec moins de gaspillage que les panneaux triangulaires.

Le traditionnel yakhchal (puits de glace) de Perse fonctionnait comme un refroidisseur évaporatif. Au-dessus du sol, la structure avait une forme de dôme, mais avait un espace de stockage souterrain pour la glace et parfois aussi pour la nourriture. L’espace souterrain et la construction épaisse résistante à la chaleur ont isolé l’espace de stockage toute l’année. L’espace interne était souvent encore refroidi avec des goulottes. La glace était disponible en été pour rendre le dessert congelé faloodeh.