Costruzione di compasso e straightedge

La costruzione di una bussola e di uno stelo, nota anche come costruzione di righello e bussola o costruzione classica, è la costruzione di lunghezze, angoli e altre figure geometriche usando solo un righello e una bussola idealizzati.

Si presume che il righello idealizzato, noto come righello, sia di lunghezza infinita e non vi sia alcun segno su di esso con un solo bordo. Si presume che la bussola “collassi” quando viene sollevata dalla pagina, quindi non può essere utilizzata direttamente per trasferire le distanze. (Questa è una limitazione non importante poiché, usando una procedura a più fasi, una distanza può essere trasferita anche con bussola collassante, vedi teorema di equivalenza della bussola.) Più formalmente, le uniche costruzioni ammissibili sono quelle concesse dai primi tre postulati di Euclide.

Risulta essere il caso in cui ogni punto costruibile usando lo straightedge e la bussola può anche essere costruito usando la bussola da solo.

Gli antichi matematici greci concepirono per la prima volta le costruzioni con la bussola e le costruzioni rettilinee, e una serie di antichi problemi nella geometria piana impongono questa restrizione. Gli antichi greci svilupparono molte costruzioni, ma in alcuni casi non erano in grado di farlo. Gauss ha mostrato che alcuni poligoni sono costruttibili ma che la maggior parte non lo sono. Alcuni dei più famosi problemi con la prua e la bussola furono dimostrati impossibili da Pierre Wantzel nel 1837, usando la teoria matematica dei campi.

Nonostante le prove esistenti di impossibilità, alcuni persistono nel tentativo di risolvere questi problemi. Molti di questi problemi sono facilmente risolvibili a condizione che siano consentite altre trasformazioni geometriche: ad esempio, il raddoppio del cubo è possibile utilizzando costruzioni geometriche, ma non è possibile utilizzare solo la scala e la bussola.

In termini di algebra, una lunghezza è costruibile se e solo se rappresenta un numero costruibile e un angolo è costruibile se e solo se il suo coseno è un numero costruibile. Un numero è costruibile se e solo se può essere scritto utilizzando le quattro operazioni aritmetiche di base e l’estrazione di radici quadrate ma senza radici di ordine superiore.

Strumenti per la bussola e lo straightedge
La “bussola” e la “ragnatela” della bussola e delle costruzioni rettilinee sono idealizzazioni di governanti e compassi nel mondo reale:

La bussola può essere aperta in modo arbitrario, ma (a differenza di alcune vere bussole) non ha segni su di essa. I cerchi possono essere disegnati solo a partire da due punti dati: il centro e un punto sul cerchio. La bussola può o meno collassare quando non sta disegnando un cerchio.
Il rettilineo è infinitamente lungo, ma non ha marcature su di esso e ha solo un bordo dritto, a differenza dei righelli ordinari. Può essere utilizzato solo per disegnare un segmento di linea tra due punti o per estendere un segmento esistente.
La bussola moderna generalmente non collassa e molte costruzioni moderne usano questa caratteristica. Sembrerebbe che la bussola moderna sia uno strumento “più potente” rispetto all’antica bussola collassante. Tuttavia, con la Proposizione 2 del Libro 1 di Euclid’s Elements, nessun potere viene perso usando una bussola collassante. Sebbene la proposizione sia corretta, le sue prove hanno una storia lunga e a scacchi.

Ogni costruzione deve essere esatta. “Eyeballing” (essenzialmente osservando la costruzione e indovinando la sua accuratezza, o usando una qualche forma di misurazione, come le unità di misura su un righello) e avvicinarsi non conta come una soluzione.

Ogni costruzione deve terminare. Cioè, deve avere un numero finito di passaggi e non essere il limite di approssimazioni sempre più ravvicinate.

Detto in questo modo, le costruzioni a compasso e ad angolo retto sembrano essere un gioco di società, piuttosto che un serio problema pratico; ma lo scopo della restrizione è garantire che le costruzioni possano essere dimostrate esattamente esatte.

Storia
Gli antichi matematici greci tentarono per la prima volta costruzioni a compasso e diritte e scoprirono come costruire somme, differenze, prodotti, rapporti e radici quadrate di lunghezze date: p. 1 Potrebbero anche costruire la metà di un angolo dato, un quadrato la cui area è il doppio di un altro quadrato, un quadrato con la stessa area di un dato poligono e un poligono regolare con 3, 4 o 5 lati: p. xi (o uno con il doppio del numero di lati di un dato poligono: pp. 49-50). Ma non potevano costruire un terzo di un angolo dato tranne in casi particolari, o un quadrato con la stessa area di un dato cerchio, o un poligono regolare con altri numeri di lati.: P. xi Né potrebbero costruire il lato di un cubo il cui volume sarebbe il doppio del volume di un cubo con un dato lato .:

Ippocrate e Menaechmus mostrarono che l’area del cubo poteva essere raddoppiata trovando le intersezioni di iperboli e parabole, ma queste non possono essere costruite da una bussola e da una scala: nel V secolo aC, Ippia usò una curva che chiamò una quadratura per entrambi trisect l’angolo generale e quadrato il cerchio, e Nicomede nel secondo secolo AC ha mostrato come utilizzare un concoide per trisect un angolo arbitrario: ma questi metodi anche non possono essere seguiti con solo bussola e scala.

Nessun progresso sui problemi irrisolti fu fatto per due millenni, finché nel 1796 Gauss mostrò che un poligono regolare con 17 lati poteva essere costruito; cinque anni dopo mostrò il criterio sufficiente per la costruzione di un poligono regolare di n lati. 51 e segg.

Nel 1837 Pierre Wantzel pubblicò una dimostrazione dell’impossibilità di trisettare un angolo arbitrario o di raddoppiare il volume di un cubo, basato sull’impossibilità di costruire radici cubiche di lunghezze. Ha anche dimostrato che è necessaria anche la sufficiente condizione di costruibilità di Gauss per i poligoni regolari.

Poi nel 1882 Lindemann mostrò che è un numero trascendentale, e quindi è impossibile per straightedge e compass di costruire un quadrato con la stessa area di un dato cerchio.: p. 47

Le costruzioni di base
Tutte le costruzioni di compasso e rette consistono in un’applicazione ripetuta di cinque costruzioni di base che utilizzano punti, linee e cerchi che sono già stati costruiti. Questi sono:

Creare la linea attraverso due punti esistenti
Creare il cerchio attraverso un punto con il centro un altro punto
Creazione del punto che è l’intersezione di due linee esistenti, non parallele
Creare uno o due punti nell’intersezione di una linea e un cerchio (se si intersecano)
Creare uno o due punti nell’intersezione di due cerchi (se si intersecano).
Ad esempio, partendo da due soli punti distinti, possiamo creare una linea o uno dei due cerchi (a turno, usando ciascun punto come centro e passando attraverso l’altro punto). Se disegniamo entrambi i cerchi, vengono creati due nuovi punti nelle loro intersezioni. Tracciare linee tra i due punti originali e uno di questi nuovi punti completa la costruzione di un triangolo equilatero.

Pertanto, in ogni problema geometrico abbiamo un set iniziale di simboli (punti e linee), un algoritmo e alcuni risultati. Da questa prospettiva, la geometria equivale a un’algebra assiomatica, sostituendo i suoi elementi con simboli. Probabilmente Gauss lo ha capito per primo, e l’ha usato per dimostrare l’impossibilità di alcune costruzioni; solo molto tempo dopo Hilbert trovò un set completo di assiomi per la geometria.

Costruzioni a bussola e perpendicolare molto usate
Le costruzioni compass-e-straightedge più usate includono:

Costruire la bisettrice perpendicolare da un segmento
Trovare il punto medio di un segmento.
Disegnare una linea perpendicolare da un punto a una linea.
Bisettrice di un angolo
Mirroring di un punto in una linea
Costruire una linea attraverso un punto tangente a un cerchio
Costruire un cerchio attraverso 3 punti non collinari
Punti e lunghezze costruttivi
Prova formale
Ci sono molti modi per dimostrare che qualcosa è impossibile. Una prova più rigorosa sarebbe quella di delimitare il limite del possibile e mostrare che per risolvere questi problemi si deve trasgredire quel limite. Gran parte di ciò che può essere costruito è coperto dalla teoria dell’intercetta.

Potremmo associare un’algebra alla nostra geometria usando un sistema di coordinate cartesiane costituito da due linee e rappresentare i punti del nostro piano con vettori. Finalmente possiamo scrivere questi vettori come numeri complessi.

Usando le equazioni per linee e cerchi, si può dimostrare che i punti in cui si intersecano si trovano in un’estensione quadratica del campo più piccolo F contenente due punti sulla linea, il centro del cerchio e il raggio del cerchio. Cioè, sono della forma x + y√k, dove x, yek sono in F.

Poiché il campo dei punti costruttibili è chiuso sotto radici quadrate, contiene tutti i punti che possono essere ottenuti da una sequenza finita di estensioni quadratiche del campo di numeri complessi con coefficienti razionali. Con il paragrafo precedente, si può dimostrare che qualsiasi punto costruibile può essere ottenuto da una tale sequenza di estensioni. Come corollario di questo, si scopre che il grado del polinomio minimo per un punto costruibile (e quindi di qualsiasi lunghezza costruibile) è una potenza di 2. In particolare, qualsiasi punto (o lunghezza) costruibile è un numero algebrico, sebbene non ogni numero algebrico è costruibile; per esempio, 3√2 è algebrico ma non è costruibile.

Angoli costruttibili
C’è una biiezione tra gli angoli che sono costruibili e i punti che sono costruibili in ogni cerchio costruibile. Gli angoli che sono costruibili formano un gruppo abeliano sotto l’aggiunta modulo 2π (che corrisponde alla moltiplicazione dei punti sul cerchio unitario visti come numeri complessi). Gli angoli che sono costruibili sono esattamente quelli la cui tangente (o equivalentemente, seno o coseno) è costruibile come un numero. Ad esempio, il normale eptadecagon (il poligono regolare di diciassette lati) è costruibile perché

come scoperto da Gauss.

Il gruppo di angoli costruttibili è chiuso sotto l’operazione che dimezza gli angoli (che corrisponde alla presa di radici quadrate nei numeri complessi). Gli unici angoli di ordine finito che possono essere costruiti a partire da due punti sono quelli il cui ordine è o un potere di due, o un prodotto di un potere di due e un insieme di primati Fermat distinti. Inoltre c’è un denso insieme di angoli costruttibili di ordine infinito.

Compass e costruzioni di straightedge come aritmetica complessa
Dato un insieme di punti nel piano euclideo, selezionare uno qualsiasi di essi da chiamare 0 e un altro da chiamare 1, insieme ad una scelta arbitraria di orientamento ci consente di considerare i punti come un insieme di numeri complessi.

Data qualsiasi interpretazione di un insieme di punti come numeri complessi, i punti costruibili usando solo bussole e costruzioni di scala sono esattamente gli elementi del campo più piccolo contenente l’insieme originale di punti e chiusi sotto le complesse operazioni di coniugato e radice quadrata (per evitare ambiguità, possiamo specificare la radice quadrata con argomenti complessi inferiori a π). Gli elementi di questo campo sono precisamente quelli che possono essere espressi come una formula nei punti originali usando solo le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, coniugato complesso e radice quadrata, che è facilmente visto come un sottoinsieme denso numerabile di l’aereo. Ognuna di queste sei operazioni corrisponde a una semplice costruzione di compasso e scala. Da tale formula è semplice produrre una costruzione del punto corrispondente combinando le costruzioni per ciascuna delle operazioni aritmetiche. Costruzioni più efficienti di un particolare insieme di punti corrispondono a scorciatoie in tali calcoli.

Equivalentemente (e senza la necessità di scegliere arbitrariamente due punti), possiamo dire che, data una scelta arbitraria di orientamento, un insieme di punti determina un insieme di rapporti complessi dati dai rapporti delle differenze tra due coppie di punti qualsiasi. L’insieme di rapporti costruibili usando la bussola e la scala da un tale insieme di rapporti è precisamente il campo più piccolo che contiene i rapporti originali e chiuso sotto prendendo complessi coniugati e radici quadrate.

Ad esempio, la parte reale, la parte immaginaria e il modulo di un punto o rapporto z (che prende uno dei due punti di vista sopra) sono costruibili in quanto possono essere espressi come

</ span>

</ span>

</ span>
Raddoppiando il cubo e la trisezione di un angolo (eccetto per angoli speciali come qualsiasi φ tale che φ / 2π sia un numero razionale con denominatore non divisibile per 3) richiedono rapporti che sono la soluzione alle equazioni cubiche, mentre la quadratura del cerchio richiede un trascendentale rapporto. Nessuno di questi è nei campi descritti, quindi non esiste una costruzione di compasso e scala per questi.

Costruzioni impossibili
Gli antichi greci pensavano che i problemi di costruzione che non potevano risolvere erano semplicemente ostinati, non irrisolvibili. Con i metodi moderni, tuttavia, queste costruzioni a compasso e diritte hanno dimostrato di essere logicamente impossibili da eseguire. (I problemi stessi, tuttavia, sono risolvibili, e i greci sapevano come risolverli, senza il vincolo di lavorare solo con straightedge e compass).

Squadrare il cerchio
Il più famoso di questi problemi, quadrando il cerchio, altrimenti noto come la quadratura del cerchio, implica la costruzione di un quadrato con la stessa area di un dato cerchio usando solo lo spigolo e la bussola.

La quadratura del cerchio si è dimostrata impossibile, poiché implica la generazione di un numero trascendentale, cioè, √π. Solo determinati numeri algebrici possono essere costruiti con il righello e la bussola da soli, cioè quelli costruiti dagli interi con una sequenza finita di operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e presa di radici quadrate. La frase “quadrare il cerchio” è spesso usata per significare “fare l’impossibile” per questo motivo.

Senza il vincolo di richiedere la soluzione solo con il righello e la bussola, il problema è facilmente risolvibile con un’ampia varietà di mezzi geometrici e algebrici, ed è stato risolto molte volte nell’antichità.

Un metodo che si avvicina molto all’approssimazione della “quadratura del cerchio” può essere ottenuto usando un triangolo di Keplero.

Raddoppio del cubo
Articolo principale: Raddoppio del cubo
Raddoppiare il cubo è la costruzione, usando solo un bordo dritto e una bussola, del bordo di un cubo che ha il doppio del volume di un cubo con un bordo dato. Questo è impossibile perché la radice cubica di 2, sebbene algebrica, non può essere calcolata da interi per addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e prendendo radici quadrate. Questo segue perché il suo polinomio minimo rispetto ai razionali ha il grado 3. Questa costruzione è possibile usando un righello con due segni su di esso e una bussola.

Trisezione dell’angolo
Articolo principale: Angle trisection
La trisezione dell’angolo è la costruzione, usando solo una scala e una bussola, di un angolo che è un terzo di un angolo arbitrario dato. Questo è impossibile nel caso generale. Ad esempio, sebbene l’angolo di π / 3 radianti (60 °) non possa essere rilevato, l’angolo 2π / 5 radianti (72 ° = 360 ° / 5) può essere rilevato. Il problema generale della trisezione si risolve facilmente anche quando è consentito un bordo con due segni (una costruzione neusis).

Costruire poligoni regolari
Alcuni poligoni regolari (ad esempio un pentagono) sono facili da costruire con scala e bussola; altri non lo sono. Ciò ha portato alla domanda: è possibile costruire tutti i poligoni regolari con scala e compasso?

Nel 1796 Carl Friedrich Gauss mostrò che un poligono regolare a 17 facce può essere costruito, e cinque anni dopo mostrò che un normale poligono a n lati può essere costruito con rettilineo e bussola se i primi fattori dispari di n sono primati Fermat distinti. Gauss ipotizzò che anche questa condizione fosse necessaria, ma non offrì alcuna prova di questo fatto, che fu fornito da Pierre Wantzel nel 1837.

I primi poligoni regolari costruibili hanno i seguenti numeri di lati:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272 … (sequenza A003401 nell’OEIS)
Si sa che è un’infinità di poligoni regolari costruibili con un numero pari di lati (perché se un n-gon regolare è costruibile, allora anche un normale 2n-gon e quindi un normale 4n-gon, 8n-gon, ecc. ). Tuttavia, ci sono solo 31 n-goni regolari costruibili noti con un numero dispari di lati.

Costruire un triangolo da tre punti caratteristici o lunghezze
Sedici punti chiave di un triangolo sono i suoi vertici, i punti medi dei suoi lati, i piedi delle sue altezze, i piedi delle sue bisettrici interne e il suo circumcentro, centroide, ortocentro e incentratore. Questi possono essere presi tre alla volta per produrre 139 distinti problemi non banali di costruzione di un triangolo da tre punti. Di questi problemi, tre riguardano un punto che può essere costruito in modo univoco dagli altri due punti; 23 può essere costruito in modo non univoco (in effetti per infinite soluzioni) ma solo se le posizioni dei punti obbediscono a determinati vincoli; nel 74 il problema è costruibile nel caso generale; e nel 39 esiste il triangolo richiesto ma non è costruibile.

Le dodici lunghezze chiave di un triangolo sono le tre lunghezze laterali, le tre altitudini, le tre mediane e le tre bisettrici. Insieme ai tre angoli, questi danno 95 combinazioni distinte, 63 delle quali danno origine a un triangolo costruibile, 30 dei quali non lo sono, e due dei quali sono sotto definiti. 201-203

Distanza da un’ellisse
Il segmento di linea da qualsiasi punto nel piano al punto più vicino su un cerchio può essere costruito, ma il segmento da qualsiasi punto nel piano al punto più vicino su un’ellisse di eccentricità positiva non può in generale essere costruito.

Costruire solo con il righello o solo la bussola
È possibile (secondo il teorema di Mohr-Mascheroni) costruire qualsiasi cosa con una sola bussola se può essere costruita con un righello e una bussola, a condizione che i dati dati e i dati da trovare siano costituiti da punti discreti (non linee o cerchi ). Dovrebbe essere notato che la verità di questo teorema dipende dalla verità dell’assioma di Archimede, che non è di primo ordine in natura. È impossibile prendere una radice quadrata con un solo righello, quindi alcune cose che non possono essere costruite con un righello possono essere costruite con una bussola; ma (secondo il teorema di Poncelet-Steiner) dato un singolo cerchio e il suo centro, possono essere costruiti.

Costruzioni estese
Gli antichi greci classificarono le costruzioni in tre categorie principali, a seconda della complessità degli strumenti necessari per la loro soluzione. Se una costruzione utilizzava solo una scala e una bussola, era chiamata planare; se richiedeva anche una o più sezioni coniche (diverse dal cerchio), allora veniva chiamato solido; la terza categoria includeva tutte le costruzioni che non rientravano in nessuna delle altre due categorie. Questa categorizzazione si adatta perfettamente al nostro punto di vista algebrico moderno. Un numero complesso che può essere espresso usando solo le operazioni sul campo e le radici quadrate (come descritto sopra) ha una costruzione planare. Un numero complesso che include anche l’estrazione delle radici dei cubi ha una costruzione solida.

Nella lingua dei campi, un numero complesso che è planare ha una potenza pari a due e si trova in un’estensione di campo che può essere scomposta in una torre di campi in cui ogni estensione ha il grado due. Un numero complesso con una costruzione solida ha un grado con fattori primi di soli due e tre e si trova in un’estensione di campo che si trova in cima a una torre di campi in cui ogni estensione ha grado 2 o 3.

Costruzioni solide
Un punto ha una costruzione solida se può essere costruito usando una scala, una bussola e uno strumento di disegno conico (possibilmente ipotetico) in grado di disegnare qualsiasi conica con messa a fuoco, direttrice ed eccentricità già costruite. La stessa serie di punti può essere spesso costruita utilizzando un set di strumenti più piccolo. Ad esempio, usando una bussola, una scala e un pezzo di carta su cui abbiamo la parabola y = x2 insieme ai punti (0,0) e (1,0), si può costruire qualsiasi numero complesso che abbia una costruzione solida . Allo stesso modo, uno strumento in grado di disegnare qualsiasi ellisse con i fuochi già costruiti e l’asse maggiore (pensate due spille e un pezzo di corda) è altrettanto potente.

Gli antichi greci sapevano che raddoppiando il cubo e tracciando un angolo arbitrario avevano entrambe delle costruzioni solide. Archimede ha dato una solida costruzione del 7-gon regolare. La quadratura del cerchio non ha una costruzione solida.

Un n-gon regolare ha una costruzione solida se e solo se n = 2j3km dove m è un prodotto di primari Pierpont distinti (numeri primi della forma 2r3s + 1). L’insieme di tale n è la sequenza

7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97 … (sequenza A051913 nell’OEIS)
L’insieme di n per cui un normale n-gon non ha una costruzione solida è la sequenza

11, 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100 … (sequenza A048136 nell’OEIS)
Come la domanda con i primati di Fermat, è una questione aperta se ci sia un numero infinito di numeri primi di Pierpont.

Trisezione dell’angolo
Cosa accadrebbe se, insieme al rettilineo e alla bussola, avessimo uno strumento che potesse (solo) trisettare un angolo arbitrario? Tali costruzioni sono costruzioni solide, ma esistono numeri con costruzioni solide che non possono essere costruite usando un tale strumento. Ad esempio, non possiamo raddoppiare il cubo con un tale strumento. D’altra parte, ogni n-gon regolare che ha una costruzione solida può essere costruito usando un tale strumento.

Origami
La teoria matematica degli origami è più potente della costruzione di una bussola e di una scala. Le piegature che soddisfano gli assiomi Huzita-Hatori possono costruire esattamente lo stesso insieme di punti delle costruzioni estese usando uno strumento di disegno conico e bussola. Pertanto, l’origami può anche essere usato per risolvere equazioni cubiche (e quindi equazioni quartiche), e quindi risolvere due dei problemi classici.

Righelli marcabili
Articolo principale: Costruzione di Neusis
Archimede, Nicomede e Apollonio diedero delle costruzioni che prevedevano l’uso di un sovrano marcabile. Ciò consentirebbe loro, ad esempio, di prendere un segmento di linea, due linee (o cerchi) e un punto; e quindi traccia una linea che passa attraverso il punto dato e interseca tre linee, e in modo tale che la distanza tra i punti di intersezione sia uguale al segmento dato. Questo i greci chiamavano neusis (“inclinazione”, “tendenza” o “vergogna”), perché la nuova linea tende al punto. In questo schema espanso, possiamo trisettare un angolo arbitrario (vedere la trisezione di Archimede) o estrarre una radice cubica arbitraria (dovuta a Nicomede). Quindi, qualsiasi distanza il cui rapporto con una distanza esistente sia la soluzione di un’equazione cubica o quartica è costruibile. I poligoni regolari con costruzioni solide, come l’ettagono, sono costruibili; e John H. Conway e Richard K. Guy danno delle costruzioni per molti di loro;

La costruzione di neusis è più potente di uno strumento di disegno conico, dato che si possono costruire numeri complessi che non hanno costruzioni solide. In effetti, usando questo strumento si possono risolvere alcuni quintics che non sono risolvibili usando i radicali. È noto che non si può risolvere un polinomio irriducibile di primo grado maggiore o uguale a 7 usando la costruzione neusis, quindi non è possibile costruire un normale 23-gon o 29-gon usando questo strumento. Benjamin e Snyder hanno dimostrato che è possibile costruire l’11-gon regolare, ma non ha dato una costruzione. È ancora aperto se un normale 25-gon o 31-gon è costruibile usando questo strumento.

Calcolo delle cifre binarie
Nel 1998 Simon Plouffe ha fornito un algoritmo di righello e bussola che può essere utilizzato per calcolare cifre binarie di determinati numeri. L’algoritmo prevede il raddoppio ripetuto di un angolo e diventa fisicamente poco pratico dopo circa 20 cifre binarie.