A construção de régua e compasso, também conhecida como construção de régua e compasso ou construção clássica, é a construção de comprimentos, ângulos e outras figuras geométricas usando apenas uma régua e compasso idealizados.

A régua idealizada, conhecida como régua, é assumida como infinita em comprimento e não possui marcações nela com apenas uma borda. Presume-se que a bússola “colapse” quando levantada da página, portanto, não pode ser usada diretamente para transferir distâncias. (Esta é uma restrição sem importância, pois, usando um procedimento de múltiplos passos, uma distância pode ser transferida mesmo com a bússola em colapso; veja o teorema da equivalência das bússolas.) Mais formalmente, as únicas construções permitidas são aquelas concedidas pelos três primeiros postulados de Euclides.

Acontece que todos os pontos construtíveis usando régua e compasso também podem ser construídos usando apenas a bússola.

Os antigos matemáticos gregos conceberam primeiro construções de compasso e régua, e vários problemas antigos na geometria plana impõem essa restrição. Os antigos gregos desenvolveram muitas construções, mas em alguns casos foram incapazes de fazê-lo. Gauss mostrou que alguns polígonos são construtíveis, mas a maioria não é. Alguns dos mais famosos problemas de réplicas e bússolas foram provados como impossíveis por Pierre Wantzel em 1837, usando a teoria matemática dos campos.

Apesar das provas existentes de impossibilidade, algumas persistem em tentar resolver esses problemas. Muitos desses problemas são facilmente solucionáveis, desde que sejam permitidas outras transformações geométricas: por exemplo, a duplicação do cubo é possível usando construções geométricas, mas não é possível usando apenas régua e compasso.

Em termos de álgebra, um comprimento é construtível se e somente se ele representa um número construtível, e um ângulo é construtível se e somente se seu cosseno é um número construtível. Um número é construtível se e somente se ele puder ser escrito usando as quatro operações aritméticas básicas e a extração de raízes quadradas, mas sem raízes de ordem superior.

Ferramentas de bússola e régua
A “bússola” e a “régua” das construções de compasso e régua são idealizações de governantes e bússolas no mundo real:

A bússola pode ser aberta arbitrariamente larga, mas (ao contrário de algumas bússolas reais) não tem marcações nela. Os círculos só podem ser desenhados a partir de dois pontos: o centro e um ponto no círculo. A bússola pode ou não entrar em colapso quando não está desenhando um círculo.
A régua é infinitamente longa, mas não tem marcações e tem apenas uma régua, ao contrário das réguas ordinárias. Ele só pode ser usado para desenhar um segmento de linha entre dois pontos ou para estender um segmento existente.
A bússola moderna geralmente não desmorona e várias construções modernas usam esse recurso. Parece que a bússola moderna é um instrumento “mais poderoso” do que a antiga bússola em colapso. No entanto, pela Proposição 2 do Livro 1 dos Elementos de Euclides, nenhum poder é perdido usando uma bússola em colapso. Embora a proposição esteja correta, suas provas têm uma longa e quadriculada história.

Cada construção deve ser exata. “Eyeballing” (essencialmente olhar para a construção e adivinhar sua precisão, ou usar alguma forma de medição, como as unidades de medida em uma régua) e chegar perto não conta como uma solução.

Cada construção deve terminar. Ou seja, deve ter um número finito de etapas e não ser o limite de aproximações cada vez mais próximas.

Dito desta forma, as construções de compasso e régua parecem ser um jogo de salão, em vez de um problema prático sério; mas o propósito da restrição é garantir que as construções possam ser provadas como estando exatamente corretas.

História
Os antigos matemáticos gregos tentaram pela primeira vez construções de compasso e régua, e descobriram como construir somas, diferenças, produtos, proporções e raízes quadradas de comprimentos determinados. 1 Eles também poderiam construir metade de um ângulo dado, um quadrado cuja área é duas vezes a de outro quadrado, um quadrado com a mesma área que um polígono dado e um polígono regular com 3, 4 ou 5 lados: p. xi (ou um com o dobro do número de lados de um dado polígono: pp. 49–50). Mas eles não podiam construir um terço de um dado ângulo, exceto em casos particulares, ou um quadrado com a mesma área que um dado círculo, ou um polígono regular com outro número de lados. xi Nem poderiam construir o lado de um cubo cujo volume seria o dobro do volume de um cubo com um dado lado .:

Hipócrates e Menaechmus mostraram que a área do cubo poderia ser dobrada encontrando as interseções de hipérboles e parábolas, mas estas não podem ser construídas por meio de bússolas e réplicas. No século V aC, Hípias usou uma curva que ele chamou de quadratrix para ambos trisect o ângulo geral e o quadrado do círculo, e Nicomedes no segundo século AEC mostrou como usar um conchoid para tri- mar um ângulo arbitrário; mas estes métodos também não podem ser seguidos com apenas bússola e régua.

Nenhum progresso nos problemas não resolvidos foi feito por dois milênios, até que em 1796 Gauss mostrou que um polígono regular com 17 lados poderia ser construído; cinco anos depois, ele mostrou o critério suficiente para um polígono regular de n lados ser construtível. 51 e segs.

Em 1837, Pierre Wantzel publicou uma prova da impossibilidade de trisseccionar um ângulo arbitrário ou de duplicar o volume de um cubo, com base na impossibilidade de construir raízes cúbicas de comprimentos. Ele também mostrou que a condição de construtibilidade suficiente de Gauss para polígonos regulares também é necessária.

Então, em 1882, Lindemann mostrou que é um número transcendental, e, portanto, é impossível, por régua e compasso, construir um quadrado com a mesma área que um dado círculo.:p. 47

As construções básicas
Todas as construções de compasso e régua consistem na aplicação repetida de cinco construções básicas usando os pontos, linhas e círculos que já foram construídos. Esses são:

Criando a linha através de dois pontos existentes
Criando o círculo através de um ponto com o centro de outro ponto
Criando o ponto que é a interseção de duas linhas não paralelas existentes
Criando o um ou dois pontos na intersecção de uma linha e um círculo (se eles se cruzarem)
Criando o um ou dois pontos na intersecção de dois círculos (se eles se cruzarem).
Por exemplo, começando com apenas dois pontos distintos, podemos criar uma linha ou um dos dois círculos (por sua vez, usando cada ponto como centro e passando pelo outro ponto). Se desenharmos os dois círculos, dois novos pontos serão criados em suas interseções. Desenhar linhas entre os dois pontos originais e um desses novos pontos conclui a construção de um triângulo equilátero.

Portanto, em qualquer problema geométrico, temos um conjunto inicial de símbolos (pontos e linhas), um algoritmo e alguns resultados. Nessa perspectiva, a geometria é equivalente a uma álgebra axiomática, substituindo seus elementos por símbolos. Provavelmente, Gauss percebeu isso pela primeira vez e usou-o para provar a impossibilidade de algumas construções; só muito depois Hilbert encontrou um conjunto completo de axiomas para a geometria.

Construções de bússola e régua muito usadas
As construções de compasso e régua mais usadas incluem:

Construindo a bissetriz perpendicular de um segmento
Encontrando o ponto médio de um segmento.
Desenhar uma linha perpendicular de um ponto a uma linha.
Dividindo um ângulo
Espelhando um ponto em uma linha
Construindo uma linha através de um ponto tangente a um círculo
Construindo um círculo através de 3 pontos não-colineares
Pontos construtíveis e comprimentos
Prova formal
Existem muitas maneiras diferentes de provar que algo é impossível. Uma prova mais rigorosa seria demarcar o limite do possível e mostrar que, para resolver esses problemas, é preciso transgredir esse limite. Muito do que pode ser construído é coberto pela teoria de interceptação.

Poderíamos associar uma álgebra à nossa geometria usando um sistema de coordenadas cartesianas feito de duas linhas e representar pontos de nosso plano por vetores. Finalmente, podemos escrever esses vetores como números complexos.

Usando as equações para linhas e círculos, pode-se mostrar que os pontos nos quais eles se cruzam se encontram em uma extensão quadrática do menor campo F contendo dois pontos na linha, o centro do círculo e o raio do círculo. Ou seja, eles são da forma x + y√k, onde x, y e k estão em F.

Como o campo de pontos construtíveis é fechado sob raízes quadradas, contém todos os pontos que podem ser obtidos por uma seqüência finita de extensões quadráticas do campo de números complexos com coeficientes racionais. Pelo parágrafo acima, pode-se mostrar que qualquer ponto construtível pode ser obtido por tal seqüência de extensões. Como corolário disto, achamos que o grau do polinômio mínimo para um ponto construtível (e portanto de qualquer comprimento construtível) é uma potência de 2. Em particular, qualquer ponto construtível (ou comprimento) é um número algébrico, embora não todo número algébrico é construtível; por exemplo, 3√2 é algébrico, mas não construtível.

Ângulos construtíveis
Há uma bijeção entre os ângulos que são construtíveis e os pontos que são construtíveis em qualquer círculo construtível. Os ângulos que são construtíveis formam um grupo abeliano sob adição do módulo 2π (que corresponde à multiplicação dos pontos no círculo unitário vistos como números complexos). Os ângulos que são construtíveis são exatamente aqueles cuja tangente (ou equivalentemente, seno ou cosseno) é construtível como um número. Por exemplo, o heptadecágono regular (o polígono regular de dezassete lados) é construtível porque

como descoberto por Gauss.

O grupo de ângulos construtíveis é fechado sob a operação que divide pela metade os ângulos (o que corresponde a obter raízes quadradas nos números complexos). Os únicos ângulos de ordem finita que podem ser construídos a partir de dois pontos são aqueles cuja ordem é uma potência de dois, ou um produto de uma potência de dois e um conjunto de primos Fermat distintos. Além disso, há um conjunto denso de ângulos construtíveis de ordem infinita.

Construções de bússola e régua como aritmética complexa
Dado um conjunto de pontos no plano euclidiano, selecionar qualquer um deles para ser chamado 0 e outro para ser chamado de 1, juntamente com uma escolha arbitrária de orientação nos permite considerar os pontos como um conjunto de números complexos.

Dada qualquer interpretação de um conjunto de pontos como números complexos, os pontos construtíveis usando apenas construções válidas de compasso e régua são precisamente os elementos do menor campo contendo o conjunto original de pontos e fechados sob as operações complexas de conjugado e raiz quadrada (para evitar ambiguidade, podemos especificar a raiz quadrada com argumento complexo menor que π). Os elementos deste campo são precisamente aqueles que podem ser expressos como uma fórmula nos pontos originais usando apenas as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, conjugado complexo e raiz quadrada, que é facilmente visto como um subconjunto denso contável de o avião. Cada uma destas seis operações corresponde a uma construção simples de bússola e régua. A partir de tal fórmula é fácil produzir uma construção do ponto correspondente combinando as construções para cada uma das operações aritméticas. Construções mais eficientes de um determinado conjunto de pontos correspondem a atalhos em tais cálculos.

Equivalente (e sem necessidade de escolher arbitrariamente dois pontos), podemos dizer que, dada uma escolha arbitrária de orientação, um conjunto de pontos determina um conjunto de relações complexas dadas pelas razões das diferenças entre quaisquer dois pares de pontos. O conjunto de razões construtíveis usando bússola e régua a partir de tal conjunto de razões é precisamente o menor campo contendo as proporções originais e fechado sob a conjugação complexa e raízes quadradas.

Por exemplo, a parte real, a parte imaginária e o módulo de um ponto ou razão z (tomando um dos dois pontos de vista acima) são construtíveis, pois podem ser expressos como

Duplicar o cubo e a trisecção de um ângulo (exceto para ângulos especiais como qualquer φ tal que φ / 2π é um número racional com denominador não divisível por 3) requer rácios que são a solução para equações cúbicas, enquanto a quadratura do círculo requer um transcendental relação. Nenhum destes está nos campos descritos, portanto, não existe uma construção de bússola e régua para estes.

Construções impossíveis
Os gregos antigos pensavam que os problemas de construção que não conseguiam resolver eram simplesmente obstinados, não insolúveis. Com métodos modernos, no entanto, essas construções de compasso e régua mostraram ser logicamente impossíveis de realizar. (Os problemas em si, no entanto, são solucionáveis, e os gregos sabiam como resolvê-los, sem a limitação de trabalhar apenas com régua e compasso.)

Quadrando o círculo
O mais famoso desses problemas, enquadrar o círculo, também conhecido como quadratura do círculo, envolve a construção de um quadrado com a mesma área de um dado círculo, usando apenas régua e compasso.

Quadratura do círculo foi provada impossível, pois envolve a geração de um número transcendental, isto é, √π. Apenas certos números algébricos podem ser construídos apenas com régua e compasso, a saber, aqueles construídos a partir de inteiros com uma seqüência finita de operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e obtenção de raízes quadradas. A frase “quadratura do círculo” é freqüentemente usada para significar “fazer o impossível” por esse motivo.

Sem a restrição de exigir solução apenas por régua e bússola, o problema é facilmente solucionável por uma grande variedade de meios geométricos e algébricos, e foi resolvido muitas vezes na antiguidade.

Um método que chega muito perto de aproximar a “quadratura do círculo” pode ser alcançado usando um triângulo de Kepler.

Dobrar o cubo
Artigo principal: Dobrar o cubo
Dobrar o cubo é a construção, usando apenas uma régua e uma bússola, da borda de um cubo que tem o dobro do volume de um cubo com uma determinada borda. Isso é impossível porque a raiz cúbica de 2, embora algébrica, não pode ser calculada a partir de inteiros por adição, subtração, multiplicação, divisão e obtenção de raízes quadradas. Isto segue porque seu polinômio mínimo sobre os racionais tem grau 3. Esta construção é possível usando uma régua com duas marcas e uma bússola.

Trisecção angular
Artigo principal: Trisection do ângulo
A trisecção angular é a construção, usando apenas uma régua e uma bússola, de um ângulo que é um terço de um dado ângulo arbitrário. Isso é impossível no caso geral. Por exemplo, embora o ângulo de π / 3 radianos (60 °) não possa ser triseccionado, o ângulo 2π / 5 radianos (72 ° = 360 ° / 5) pode ser triseccionado. O problema geral de trisecção também é facilmente resolvido quando é permitida uma régua com duas marcas (construção de um neusis).

Construindo polígonos regulares
Alguns polígonos regulares (por exemplo, um pentágono) são fáceis de construir com régua e compasso; outros não são. Isso levou à pergunta: é possível construir todos os polígonos regulares com régua e compasso?

Carl Friedrich Gauss, em 1796, mostrou que um polígono regular de 17 lados pode ser construído e, cinco anos depois, mostrou que um polígono regular pode ser construído com régua e compasso se os fatores primos ímpares de n forem primos Fermat distintos. Gauss conjecturou que essa condição também era necessária, mas ele não ofereceu nenhuma prova desse fato, que foi fornecido por Pierre Wantzel em 1837.

Os primeiros polígonos regulares construtíveis possuem os seguintes números de lados:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272 … (sequência A003401 no OEIS)
Sabe-se que existe uma infinidade de polígonos regulares construtíveis com um número par de lados (porque se um n-gon regular é construtível, então também é um regular 2n-gon e daí um regular 4n-gon, 8n-gon, etc. ). No entanto, existem apenas 31 n-gons regulares construtíveis conhecidos com um número ímpar de lados.

Construindo um triângulo a partir de três pontos ou comprimentos característicos
Dezesseis pontos-chave de um triângulo são seus vértices, os pontos médios de seus lados, os pés de suas altitudes, os pés de seus bissectores de ângulo interno e seu circuncentro, centróide, ortocentro e incentivo. Isso pode ser feito de três em três para gerar 139 problemas não triviais distintos de construção de um triângulo a partir de três pontos. Destes problemas, três envolvem um ponto que pode ser construído exclusivamente a partir dos outros dois pontos; 23 podem ser construídos de maneira não única (na verdade, para infinitas soluções), mas somente se as localizações dos pontos obedecerem a certas restrições; em 74, o problema é construtível no caso geral; e em 39 o triângulo requerido existe, mas não é construtível.

Doze comprimentos de chave de um triângulo são os três comprimentos laterais, as três altitudes, as três medianas e as três bissetrizes de ângulo. Juntamente com os três ângulos, estes dão 95 combinações distintas, 63 das quais dão origem a um triângulo construtível, 30 dos quais não, e dois dos quais são subdefinidos.:pp. 201–203

Distância para uma elipse
O segmento de linha de qualquer ponto no plano até o ponto mais próximo em um círculo pode ser construído, mas o segmento de qualquer ponto no plano até o ponto mais próximo em uma elipse de excentricidade positiva não pode ser construído em geral.

Construindo com apenas régua ou apenas bússola
É possível (de acordo com o teorema de Mohr-Mascheroni) construir qualquer coisa com apenas uma bússola se ela puder ser construída com uma régua e uma bússola, desde que os dados dados e os dados a serem encontrados consistam em pontos discretos (não linhas ou círculos ). Deve-se notar que a verdade deste teorema depende da verdade do axioma de Arquimedes, que não é de primeira ordem na natureza. É impossível ter uma raiz quadrada com apenas uma régua, então algumas coisas que não podem ser construídas com uma régua podem ser construídas com uma bússola; mas (pelo teorema de Poncelet-Steiner) dado um único círculo e seu centro, eles podem ser construídos.

Construções prolongadas
Os antigos gregos classificaram as construções em três categorias principais, dependendo da complexidade das ferramentas necessárias para sua solução. Se uma construção usasse apenas uma régua e uma bússola, ela seria chamada de planar; se também exigisse uma ou mais seções cônicas (além do círculo), então era chamado sólido; a terceira categoria incluiu todas as construções que não se enquadravam em nenhuma das outras duas categorias. Esta categorização combina bem com o nosso ponto de vista algébrico moderno. Um número complexo que pode ser expresso usando apenas as operações de campo e raízes quadradas (como descrito acima) tem uma construção planar. Um número complexo que inclui também a extração de raízes cúbicas tem uma construção sólida.

Na linguagem dos campos, um número complexo que é planar tem um grau de potência de dois, e está em uma extensão de campo que pode ser dividida em uma torre de campos onde cada extensão tem grau dois. Um número complexo que tem uma construção sólida tem grau com fatores primos de apenas dois e três e está em uma extensão de campo que está no topo de uma torre de campos onde cada extensão tem grau 2 ou 3.

Construções sólidas
Um ponto tem uma construção sólida se puder ser construído usando uma régua, uma bússola e uma ferramenta de desenho cônico (possivelmente hipotética) que pode desenhar qualquer cônica com foco, diretriz e excentricidade já construídos. O mesmo conjunto de pontos pode ser construído usando um conjunto menor de ferramentas. Por exemplo, usando uma bússola, régua e um pedaço de papel no qual temos a parábola y = x2 juntamente com os pontos (0,0) e (1,0), pode-se construir qualquer número complexo que tenha uma construção sólida . Da mesma forma, uma ferramenta que pode desenhar qualquer elipse com focos e eixos principais já construídos (pense em dois pinos e um pedaço de corda) é igualmente poderosa.

Os gregos antigos sabiam que dobrar o cubo e triplicar um ângulo arbitrário ambos tinham construções sólidas. Arquimedes deu uma sólida construção do regular 7-gon. A quadratura do círculo não tem uma construção sólida.

Um n-gon regular tem uma construção sólida se e somente se n = 2j3km onde m é um produto de primos Pierpont distintos (primos da forma 2r3s + 1). O conjunto de tal n é a sequência

7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97 … (sequência A051913 no OEIS)
O conjunto de n para o qual um n-gon regular não tem construção sólida é a sequência

11, 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100 … (sequência A048136 no OEIS)
Como a questão com primos de Fermat, é uma questão em aberto se existe um número infinito de primos de Pierpont.

Trisecção angular
E se, junto com a régua e a bússola, tivéssemos uma ferramenta que pudesse (apenas) triturar um ângulo arbitrário? Tais construções são construções sólidas, mas existem números com construções sólidas que não podem ser construídas usando tal ferramenta. Por exemplo, não podemos dobrar o cubo com essa ferramenta. Por outro lado, todo n-gon regular que tem uma construção sólida pode ser construído usando essa ferramenta.

Origami
A teoria matemática do origami é mais poderosa do que a construção de bússola e régua. As dobras que satisfazem os axiomas Huzita-Hatori podem construir exatamente o mesmo conjunto de pontos que as construções estendidas, usando uma ferramenta de desenho de bússola e cônica. Portanto, origami também pode ser usado para resolver equações cúbicas (e, portanto, equações quárticas), e assim resolver dois dos problemas clássicos.

Governantes marcáveis
Artigo principal: Construção de Neusis
Arquimedes, Nicomedes e Apolônio deram construções envolvendo o uso de uma régua marcada. Isso permitiria, por exemplo, que eles pegassem um segmento de linha, duas linhas (ou círculos) e um ponto; e, em seguida, desenhe uma linha que passe pelo ponto especificado e cruze três linhas, de forma que a distância entre os pontos de interseção seja igual ao segmento determinado. Isso os gregos chamavam de neusis (“inclinação”, “tendência” ou “inclinação”), porque a nova linha tende ao ponto. Neste esquema expandido, podemos triturar um ângulo arbitrário (veja a triseção de Arquimedes) ou extrair uma raiz cúbica arbitrária (devido a Nicomedes). Assim, qualquer distância cuja razão para uma distância existente é a solução de uma equação cúbica ou quártica é construtível. Polígonos regulares com construções sólidas, como o heptágono, são construtíveis; e John H. Conway e Richard K. Guy dão construções para vários deles;

A construção do neusis é mais poderosa que uma ferramenta de desenho cônico, pois é possível construir números complexos que não tenham construções sólidas. De fato, usando esta ferramenta pode-se resolver algumas quínticas que não são solucionáveis ​​usando radicais. Sabe-se que não se pode resolver um polinômio irredutível de grau primo maior ou igual a 7 usando a construção de neuroses, portanto não é possível construir um 23-gon ou 29-gon regular usando essa ferramenta. Benjamin e Snyder provaram que é possível construir o regular 11-gon, mas não deu uma construção. Ainda está em aberto se um modelo regular de 25-gon ou 31-gon é construtível usando esta ferramenta.

Computação de dígitos binários
Em 1998, Simon Plouffe deu um algoritmo de régua e compasso que pode ser usado para computar dígitos binários de certos números. O algoritmo envolve a duplicação repetida de um ângulo e torna-se fisicamente impraticável após cerca de 20 dígitos binários.