Cinemática

A cinemática é o ramo da física que descreve o movimento de objetos sólidos sem considerar as causas que se originam (as forças) e limitam-se principalmente ao estudo da história em função do tempo. Para isso, utiliza velocidades e acelerações, que descrevem como a posição muda em função do tempo. A velocidade é determinada como o quociente entre o deslocamento e o tempo utilizado, enquanto a aceleração é o quociente entre a mudança de velocidade e o tempo utilizado.

Elementos básicos da cinemática
Os elementos básicos da cinemática são espaço, tempo e mobilidade.

Na mecânica clássica, admite-se a existência de um espaço absoluto, isto é, um espaço anterior a todos os objetos materiais e independente da existência destes. Este espaço é o estágio em que todos os fenômenos físicos ocorrem, e supõe-se que todas as leis da física são rigorosamente cumpridas em todas as regiões da física. O espaço físico é representado na mecânica clássica por meio de um espaço euclidiano.

Analogamente, a mecânica clássica admite a existência de um tempo absoluto que ocorre da mesma maneira em todas as regiões do Universo e que é independente da existência de objetos materiais e da ocorrência de fenômenos físicos.

O celular mais simples que pode ser considerado é o material ou ponto de partícula; quando na cinemática este caso móvel particular é estudado, ele é chamado de cinemática de partículas, e quando o móvel em estudo é um corpo rígido, pode ser considerado um sistema de partículas e conceitos analógicos extensos; neste caso chama-se cinemática do sólido rígido ou do corpo rígido.

Fundação da cinemática clássica
A cinemática lida com o estudo do movimento dos corpos em geral e, em particular, do caso simplificado do movimento de um ponto material, mas não estuda por que os corpos se movem, mas apenas descreve suas trajetórias e como se reorientar em seu Avanço. Para muitos sistemas de partículas, por exemplo fluidos, as leis do movimento são estudadas na mecânica dos fluidos.

O movimento traçado por uma partícula é medido por um observador em relação a um sistema de referência. Do ponto de vista matemático, a cinemática expressa a variação das coordenadas de posição da (s) partícula (s) versus o tempo. A função matemática que descreve a trajetória percorrida pelo corpo (ou partícula) depende da velocidade (a velocidade com que um móvel muda de posição) e da aceleração (variação da velocidade em relação ao tempo).

O movimento de uma partícula (ou corpo rígido) pode ser descrito de acordo com os valores de velocidade e aceleração, que são grandezas vetoriais:

Se a aceleração for zero, dará origem a um movimento retilíneo uniforme e a velocidade permanecerá constante ao longo do tempo.

Se a aceleração é constante na mesma direção que a velocidade, ela dá origem ao movimento retilíneo uniformemente acelerado e a velocidade irá variar com o tempo.
Se a aceleração é constante com direção perpendicular à velocidade, ela dá origem ao movimento circular uniforme, onde o módulo da velocidade é constante, mudando sua direção com o tempo.

Quando a aceleração é constante e está no mesmo plano da velocidade e trajetória, ocorre movimento parabólico, onde o componente da velocidade na direção da aceleração se comporta como um movimento retilíneo uniformemente acelerado, e o componente perpendicular se comporta como um uniforme. movimento retilíneo, e uma trajetória parabólica é gerada ao compor ambas.

Quando a aceleração é constante, mas não no mesmo plano da velocidade e da trajetória, observa-se o efeito Coriolis.

No movimento harmônico simples há um movimento oscilatório periódico, como o do pêndulo, em que um corpo oscila de um lado para o outro a partir da posição de equilíbrio em uma determinada direção e em intervalos iguais de tempo. Aceleração e velocidade são funções, neste caso, sinusoidais do tempo.

Ao considerar o movimento de translação de um corpo extenso, no caso de ser um corpo rígido, saber como uma das partículas se move, deduz-se como os outros se movem. Mais concretamente:

Em um movimento de plano bidimensional se o movimento de dois pontos do sólido é conhecido, o movimento de todo o sólido é determinado

Em um movimento tridimensional geral, o movimento é determinado se o movimento de 4 pontos do sólido for conhecido.

Assim, considerando um ponto do corpo, por exemplo o centro de massa do corpo ou qualquer outro, o movimento de todo o corpo pode ser expresso como:

Onde:
 é a posição de um ponto no corpo no momento t.
 é a posição do ponto de referência (por exemplo, o centro de gravidade) no tempo t.
 , é uma matriz de rotação que representa a rotação do corpo em torno de si no tempo t, para calcular essa matriz é suficiente saber a posição dos outros 3 pontos além do ponto de referência (ou 1 ponto a mais se o movimento for plano) .

Na descrição do movimento de rotação dado por  devemos considerar o eixo de rotação em relação ao qual o corpo gira e a distribuição das partículas em relação ao eixo de rotação. O estudo do movimento de rotação de um sólido rígido é geralmente incluído no tema da mecânica sólida rígida, uma vez que é mais complicado (a direção principal  associado ao autovalor 1, fornece o eixo de rotação em cada instante t).

Um movimento interessante é o de um pião, que ao girar pode ter um movimento de precessão e de nutação. Quando um corpo tem vários movimentos simultaneamente, como um de translação e outro de rotação, você pode estudar cada um separadamente no sistema de referência que é apropriado para cada um, e então sobrepor os movimentos.

Sistemas coordenados
No estudo do movimento, os sistemas de coordenadas mais úteis estão vendo os limites do caminho a ser percorrido ou analisando o efeito geométrico da aceleração que afeta o movimento.Assim, para descrever o movimento de um salto forçado a se mover ao longo de um anel circular, a coordenada mais útil seria o ângulo traçado no anel. Do mesmo modo, para descrever o movimento de uma partícula submetida à ação de uma força central, as coordenadas polares seriam as mais úteis.

Na grande maioria dos casos, o estudo cinemático é feito em um sistema de coordenadas cartesianas, utilizando uma, duas ou três dimensões, de acordo com a trajetória seguida pelo corpo.

Registro de movimento
A tecnologia hoje nos oferece muitas maneiras de registrar o movimento efetuado por um corpo.Assim, para medir a velocidade dos veículos, o radar de tráfego está disponível cuja operação é baseada no efeito Doppler. O tacômetro é um indicador da velocidade de um veículo com base na freqüência de rotação das rodas. Os pedestres têm pedômetros que detectam as vibrações características da passagem e, assumindo uma distância média característica para cada passo, permitem calcular a distância percorrida. O vídeo, juntamente com a análise computacional das imagens, também permite determinar a posição e velocidade dos veículos.

Tipos de movimentos

Movimento retilíneo
É aquele em que o celular descreve uma trajetória linear.

Movimento retilíneo uniforme
Nesse movimento, o celular se move ao longo de uma linha reta a uma velocidade V constante; a aceleração a é zero o tempo todo. Isso corresponde ao movimento de um objeto lançado no espaço, fora de qualquer interação, ou ao movimento de um objeto que deslize sem atrito. Como a velocidade V é constante, a posição irá variar linearmente em relação ao tempo, de acordo com a equação:

Onde  é a posição inicial do móvel em relação ao centro de coordenadas, isto é, para  .

 a equação anterior corresponde a uma linha que passa pela origem, em uma representação gráfica da função  .

Movimento retilíneo uniformemente acelerado ou variado

Nesse movimento, a aceleração é constante, portanto a velocidade móvel varia linearmente e a posição é quadrática com o tempo. As equações que governam esse movimento são as seguintes:

a velocidade final é igual à velocidade inicial do celular mais a aceleração devido ao aumento no tempo.  mais ou menos:

a velocidade final é igual à velocidade inicial mais a aceleração pelo tempo.
A partir da relação que calcula a velocidade:

Onde  ,  velocidade inicial, aquela que você tem para  , temos.

Note que se a aceleração fosse zero, as equações anteriores corresponderiam àquelas de um movimento retilíneo uniforme, isto é, com velocidade  constante. Se a parte do corpo do resto acelerar uniformemente, então o  .

Dois casos específicos de MRUA são queda livre e tiro vertical. A queda livre é o movimento de um objeto que cai em direção ao centro da Terra com uma aceleração equivalente à aceleração da gravidade (que no caso do planeta Terra ao nível do mar é de aproximadamente 9,8 m / s 2). O tiro vertical, por outro lado, corresponde ao de um objeto lançado na direção oposta ao centro da terra, ganhando altura. Nesse caso, a aceleração da gravidade faz com que o objeto perca velocidade, ao invés de vencê-lo, até atingir o estado de repouso; então, e a partir daí, um movimento de queda livre com velocidade inicial zero começa.

Movimento harmônico simples
É um movimento periódico para frente e para trás, no qual um corpo oscila em ambos os lados de uma posição de equilíbrio em uma determinada direção e em intervalos iguais de tempo.Matematicamente, o caminho percorrido é expresso em função do tempo usando funções trigonométricas, que são periódicas. Por exemplo, a equação de posição em relação ao tempo, para o caso de movimento em uma dimensão é:

ou

que corresponde a uma função sinusoidal de frequência  ,, amplitude A e fase inicial  .

Os movimentos do pêndulo, de uma massa presa a uma mola ou a vibração dos átomos nas redes cristalinas são dessas características.

A aceleração experimentada pelo corpo é proporcional ao deslocamento do objeto e a direção oposta, do ponto de equilíbrio. Matematicamente:

Onde  é uma constante positiva e  , refere-se ao alongamento (deslocamento do corpo da posição de equilíbrio).

A solução para essa equação diferencial leva a funções trigonométricas da forma anterior.Logicamente, um movimento periódico oscilatório real diminui com o tempo (principalmente o atrito), então a expressão de aceleração é mais complicada, precisando adicionar novos termos relacionados ao atrito. Uma boa aproximação da realidade é o estudo do movimento oscilatório amortecido.

Movimento parabólico
O movimento parabólico pode ser analisado como a composição de dois movimentos retilíneos diferentes: um horizontal (de acordo com o eixo x) de velocidade constante e outro vertical (de acordo com o eixo y) uniformemente acelerado, com a aceleração gravitacional; a composição de ambos resulta em uma trajetória parabólica.
Claramente, o componente horizontal da velocidade permanece inalterado, mas o componente vertical e o ângulo θ mudam no curso do movimento.

O vetor de velocidade inicial  forma um ângulo inicial  em relação ao eixo x ; e, como dito, para a análise, ele é dividido nos dois tipos de movimento mencionados; Sob esta análise, os componentes de acordo com x e y da velocidade inicial serão:

O deslocamento horizontal é dado pela lei do movimento uniforme, portanto suas equações serão (se considerarmos

 ):

Enquanto o movimento de acordo com o eixo  será retilíneo uniformemente acelerado, sendo suas equações:

Se você substituir e operar para eliminar o tempo, com as equações que dão as posições  e  , a equação da trajetória no plano xy é obtida:

que tem a forma geral

e representa uma parábola no plano y (x). Esta representação é mostrada, mas nela foi considerada (não é assim na respectiva animação). Nesta figura também se observa que a altura máxima na trajetória parabólica ocorrerá em H, quando a componente vertical da velocidade é nulo (máximo da parábola); e que o alcance horizontal  ocorrerá quando o corpo retornar ao solo, em  (onde a parábola corta o eixo  ).

Circulação Circular
O movimento circular na prática é um tipo muito comum de movimento: eles experimentam, por exemplo, as partículas de um disco que gira em seu eixo, as de uma roda gigante, as das mãos de um relógio, as das paletas de um ventilador, etc. No caso de um disco girando em torno de um eixo fixo, qualquer um de seus pontos descreve trajetórias circulares, realizando um certo número de voltas durante um determinado intervalo de tempo. Para a descrição deste movimento é conveniente referenciar os anglestores; já que estes últimos são idênticos para todos os pontos do disco (referenciados ao mesmo centro). O comprimento do arco percorrido por um ponto do disco depende de sua posição e é igual ao produto do ângulo percorrido por sua distância até o eixo ou centro de rotação. A velocidade angular (ω) é definida como o deslocamento angular em relação ao tempo e é representada por um vetor perpendicular ao plano de rotação; sua direção é determinada pela aplicação da “regra da mão direita” ou do saca-rolhas. A aceleração angular (α) acaba por ser variação da velocidade angular em relação ao tempo, e é representada por um vetor análogo ao da velocidade angular, mas pode ou não ter a mesma direção (dependendo se acelera ou não). ou retarda).
A velocidade (v) de uma partícula é uma magnitude vetorial cujo módulo expressa o comprimento do arco percorrido (espaço) por unidade de tempo; Esse módulo também é chamado de velocidade ou celeridade. É representado por um vetor cuja direção é tangente ao caminho circular e coincide com a do movimento.

A aceleração (a) de uma partícula é uma magnitude vetorial que indica a velocidade com que a velocidade muda em relação ao tempo; isto é, a mudança do vetor de velocidade por unidade de tempo. A aceleração geralmente tem dois componentes: aceleração tangencial à trajetória e aceleração normal a ela. A aceleração tangencial é o que causa a variação do módulo de velocidade (celeridade) em relação ao tempo, enquanto a aceleração normal é responsável pela mudança na direção da velocidade. Os módulos de ambos os componentes de aceleração dependem da distância que a partícula é do eixo de rotação.

Movimento circular uniforme
É caracterizado por ter uma velocidade variável ou constante estrutural de modo que a aceleração angular é zero. A velocidade linear da partícula não varia em módulo, mas em direção. A aceleração tangencial é zero; mas há aceleração centrípeta (aceleração normal), que é a causa da mudança de direção.
Matematicamente, a velocidade angular é expressa como:

Onde  é a velocidade angular (constante),  é a variação do ângulo varrido pela partícula e  É a variação do tempo. O ângulo percorrido em um intervalo de tempo é:

Movimento circular uniformemente acelerado
Neste movimento, a velocidade angular varia linearmente em relação ao tempo, uma vez que o móvel é submetido a uma aceleração angular constante. As equações de movimento são análogas às do retilíneo uniformemente acelerado, mas usando ângulos em vez de distâncias: 

ser  , a aceleração angular constante.

Movimento harmônico complexo
É um tipo de movimento bidimensional ou tridimensional que pode ser construído como uma combinação de movimentos harmônicos simples em diferentes direções. Quando uma estrutura é submetida a vibrações, o movimento de um determinado ponto material pode muitas vezes ser modelado por um movimento harmônico complexo, se a amplitude do movimento for pequena.

O movimento harmônico complexo é interessante porque normalmente não é um movimento periódico, mas um movimento quase periódico que nunca se repete exatamente, embora execute quase ciclos sem se repetir exatamente. A forma vetorial de um ponto que executa esse movimento acaba sendo:

Onde  são as amplitudes máximas nas três direções do espaço, são as frequências de oscilação e  as fases iniciais (as condições iniciais permitem calcular as amplitudes e as fases). As frequências dependem das características do sistema (massa, rigidez, etc.).

O movimento circular uniforme é, na verdade, um caso de movimento harmônico complexo no qual as amplitudes em duas direções são iguais ao raio do círculo. , as freqüências nas duas direções coincidem  e há uma relação de lacunas específicas  . Se as amplitudes não são iguais ou o atraso não é exatamente o dado, a trajetória desse movimento, mas as frequências são iguais, o resultado é um movimento elíptico.

Movimento sólido rígido
Todos os movimentos descritos acima referem-se a pontos materiais concretos, ou corpúsculos, isto é, corpos físicos cujas pequenas dimensões em relação ao tamanho da trajetória podem ser aproximadas por pontos materiais. Entretanto, corpos físicos macroscópicos não são pontuais, em muitas situações o movimento do corpo como um todo requer uma descrição mais complexa do que assumir que todos os seus pontos seguem uma trajetória muito maior que as distâncias entre os pontos do corpo, de modo que a descrição de o corpo como um ponto material é inadequado e a cinemática do ponto material é muito simples para descrever adequadamente a cinemática do corpo. Nesses casos, a cinemática do sólido rígido deve ser usada, na qual a “trajetória” do corpo recebe um espaço mais complexo ou mais rico do que o simples espaço euclidiano tridimensional, já que é necessário definir não apenas o deslocamento do espaço. o corpo através do dito espaço, mas para especificar as mudanças de orientação do corpo em seu movimento, por meio de movimentos de rotação.

Formulação matemática com cálculo diferencial
A velocidade é a derivada temporal do vetor de posição e a aceleração é a derivada temporal da velocidade:

ou suas expressões integrais:

Onde  elas são as condições iniciais.

Movimento na terra
Ao observar o movimento na Terra de corpos como massas de ar em meteorologia ou projéteis, há desvios causados ​​pelo chamado Efeito Coriolis. Eles são usados ​​para provar que a Terra está girando em seu eixo. Do ponto de vista cinematográfico, é interessante explicar o que acontece quando se considera a trajetória observada a partir de um sistema de referência que está em rotação, a Terra.

Suponha que um canhão no equador lance um projétil para o norte ao longo de um meridiano. Um observador localizado ao norte no meridiano observa que o projétil cai para o leste do predito, desviando para a direita da trajetória. Da mesma forma, se o projétil tivesse disparado ao longo do meridiano ao sul, o projétil também teria desviado para o leste, neste caso à esquerda da trajetória seguida. A explicação deste “desvio”, causada pelo Efeito Coriolis, deve-se à rotação da Terra. O projétil tem uma velocidade com três componentes: os dois que afetam o tiro parabólico, para o norte (ou para o sul) e para cima, respectivamente, mais um terceiro componente perpendicular aos anteriores devido ao projétil, antes de sair do canyon. uma velocidade igual à velocidade de rotação da Terra no equador. Este último componente de velocidade é a causa do desvio observado porque, embora a velocidade angular de rotação da Terra seja constante em toda a sua superfície, não é a velocidade linear de rotação, que é máxima no equador e nula no centro da rotação. os polos.Assim, o projétil prossegue em direção ao norte (ou ao sul), move-se mais rápido em direção ao leste do que a superfície da Terra, então o desvio mencionado é observado.

Outro caso interessante de movimento na Terra é o do pêndulo de Foucault. O plano de oscilação do pêndulo não permanece fixo, mas observamos que ele gira, girando no sentido horário no hemisfério norte e no sentido anti-horário no hemisfério sul. Se o pêndulo oscila no equador, o plano de oscilação não muda. Por outro lado, nos pólos, a rotação do plano de oscilação leva um dia. Para latitudes intermediárias, são necessários valores mais altos, dependendo da latitude. A explicação para tal reviravolta é baseada nos mesmos princípios anteriormente feitos para o projétil de artilharia.

Cinemática Relativista
Na relatividade, o que é absoluto é a velocidade da luz no vácuo, não no espaço ou no tempo. Todo observador em um sistema de referência inercial, não importando sua velocidade relativa, medirá a mesma velocidade da luz que outro observador em outro sistema. Isso não é possível do ponto de vista clássico. As transformações de movimento entre dois sistemas de referência devem levar em conta esse fato, a partir do qual surgiram as transformações de Lorentz. Eles mostram que as dimensões espaciais e o tempo estão relacionados, então na relatividade é normal falar sobre o espaço-tempo e um espaço quadridimensional.

Há muita evidência experimental de efeitos relativísticos. Por exemplo, o tempo medido em laboratório para a desintegração de uma partícula que foi gerada com uma velocidade próxima à da luz é maior do que o decaimento medido quando a partícula é gerada em repouso em relação ao laboratório. Isso é explicado pela dilatação temporal relativística que ocorre no primeiro caso.

A cinemática é um caso especial de geometria diferencial de curvas, no qual todas as curvas são parametrizadas da mesma maneira: ao longo do tempo. Para o caso relativístico, o tempo de coordenadas é uma medida relativa para cada observador, portanto, o uso de algum tipo de medida invariante é necessário como o intervalo relativístico ou equivalentemente para partículas com massa no próprio tempo. A relação entre o tempo de coordenada de um observador e o tempo adequado é dada pelo fator de Lorentz.