密铺

曲面细分平面是使用一个或多个几何形状的平面的平铺，称为密铺（Tessellation or Tiling），没有重叠和没有间隙。在数学中，镶嵌可以被推广到更高的尺寸和各种几何形状。

比较等边三角形，正方形和正六边形的面积比。十六进制将平面与用于覆盖表面部分的最小周边分开。在平面几何中，它被称为调光（有时是倾斜或铺地），用一个或多个无限重复而不重叠的几何图形覆盖平面。

这些几何图形（称为“销钉”）通常是多边形，有规律或不规则，但也可以具有弯曲的边，或者没有顶点。通常出现的唯一条件是它们相互连接，而非简单连接（即它们是一个整体，没有孔）。

虽然这种情况可能看起来非常严格，但几乎所有可能的地板都会受到尊重。它有用的原因是它允许比较不同外观的吨。

但是，基本的平行四边形模板并不是分类常规点的最完整的方法，知道其角度和侧面的测量结果不允许我们确定地证明我们的调光的几何特征：可能发生的情况是平行四边形的一部分（更准确地说是平行四边形的一部分）可能是可能的重建所有的装饰（不再有唯一的翻译，但也使用其他的等轴测图）。

定期的平铺有一个重复的模式。一些特殊类型包括具有规则多边形瓷砖的所有相同形状的定期倾斜，以及具有多于一种形状的正规瓷砖并且每个角部布置相同的半规则倾斜。定期翻转形成的图案可以分为17个壁纸组。缺乏重复模式的平铺称为“非周期性”。非周期性瓷砖使用一组不能形成重复图案的瓷砖形状。在更高维的几何中，空间填充或蜂窝也被称为空间镶嵌。

路面或路面是一个有限集合的元素（称为瓦片（更确切地说，它们是非空的内部压缩物））的空间（通常是像平面或三维空间的欧几里德空间）的分区。一般来说，我们考虑翻译的翻译，也就是说，两个相同的铺路砖总是可以通过翻译（不包括旋转或对称）互相抵扣。还有非欧几里德空间的镶嵌，毫无疑问，最着名的是M.C.埃舍尔（双曲平面的统一曲面）。

真正的物理镶嵌是由诸如水泥陶瓷正方形或六边形之类的材料制成的平铺。这种倾斜可以是装饰图案，或者可以具有诸如提供耐用和防水的路面，地板或墙壁覆盖物的功能。历史上，镶嵌在古罗马和伊斯兰艺术中使用，例如阿罕布拉宫的装饰几何瓷砖。在二十世纪，埃舍尔先生的作品经常利用普通的欧几里德几何和双曲几何中的镶嵌来达到艺术效果。 Tessellations有时被用于绗缝的装饰效果。镶嵌形成了一类自然界中的图案，例如在蜂巢中发现的六边形细胞阵列中。

苏美尔人（大约公元前4000年左右）在建筑由粘土砖形成的墙面装饰上使用了装饰。

装饰马赛克拼块被称为马赛克的小方块被广泛应用于古代古代，有时显示几何图案。

1619年，约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）对棋盘格进行了早期的记录研究。他在他的Harmonices Mundi中写下了规则和半规则的镶嵌细节;他可能是第一个探索和解释蜂窝和雪花的六边形结构。

大约在二百年后的1891年，俄罗斯晶体学家叶夫格拉夫·费奥多罗夫（Yevgraf Fyodorov）证明，每一个定期的平面都有十七组不同的等轴测图。费奥多罗夫的工作标志着镶嵌的数学研究的非官方的开始。其他着名的贡献者包括Shubnikov和Belov（1964），Heinrich Heesch和Otto Kienzle（1963）。

在拉丁文中，tessella是一种用于制作马赛克的小块立方体粘土，石头或玻璃。 “tessella”一词的意思是“小方块”（来自tessera，正方形，而方块则来自四个希腊词τέσσερα）。它对应于日常平铺，这是指通常由釉面粘土制成的镶嵌的应用。

按照一套既定的规则，镶嵌或镶嵌在两个方面是几何学中的一个话题，研究如何将形状（称为瓷砖）布置成无间隙地填充平面。这些规则可以变化。常见的是瓷砖之间不能有缝隙，一块瓷砖的任何角落都不能沿着另一块瓷砖的边缘。粘结砖砌成的棋盘格不遵守这个规则。在这些之中，规则镶嵌具有相同的规则拼贴和相同的规则边角或顶点，对于每个拼贴具有相同边缘之间相同的角度。只有三种形状可以形成这种规则镶嵌：等边三角形，正方形和正六边形。这三种形状中的任何一种都可以无限复制，以填补飞机的空白。

许多其他类型的细分在不同的约束条件下是可能的。例如，有八种类型的半规则镶嵌，用多于一种正多边形制成，但在每个角落仍然具有相同的多边形排列。不规则镶嵌也可以从其他形状，如五边形，多边形，实际上几乎任何形状的几何形状。艺术家M.C.埃舍尔（M.C.Escher）以制作镶嵌不规则的瓦片而出名，形状像动物和其他自然物体。如果为不同形状的瓷砖选择适合的对比色，则形成醒目的图案，并且这些可用于装饰教堂地板等物理表面。

更正式地说，镶嵌或拼贴是欧几里得平面上的一个可数的封闭集合（称为平铺）的覆盖，以使得平铺仅在其边界上相交。这些瓦片可以是多边形或任何其他形状。许多曲面细分由有限数量的原型构成，其中曲面细分中的所有图块与给定的原型图一致。如果可以使用几何形状作为原型来创建曲面细分，则称该形状为曲面细分或平铺平面。康威标准是一个足够的但并非必要的规则来决定是否一个给定的形状定期瓷砖平面没有反射：一些瓷砖不符合标准，但仍然平铺平面。没有找到一个通用的规则来确定一个给定的形状是否可以平铺飞机，这意味着有关镶嵌的许多未解决的问题。

各个最小的设计具有相同的形状
必须应用于最小设计以获得两个销钉中的每一个的转换是相同的
例如，在侧面的图像中，我们看到一个带有基本平行四边形（一个正方形）和最小设计（三角形矩形）的点。点可以通过平移方块来获得，也可以通过平移和反射唯一的三角形矩形来获得。相反，没有可以重新创建所有流苏的三角形的较小部分。

事实证明，定期加倍类正好是17个。为了对任何加倍进行编目，只需从最小设计中知道生成它所需的转换就足够了，如下表所示：

抽象艺术和建筑中的点缀一直是美学，

在数学上，镶嵌可以扩展到除欧几里得平面以外的空间。瑞士几何学家路德维希·施拉夫利（LudwigSchläfli）通过定义多晶型物（polyschemes）开创了这一领域，现在数学家称之为多晶型物。这些是与更多维度的空间类似的多边形和多面体。他进一步定义了Schläfli符号表示法，以便于描述多面体。例如，等边三角形的Schläfli符号是{3}，而正方形的符号是{4}。 Schläfli符号使得可以紧凑地描述翻转。例如，正六边形的平铺在每个顶点有三个六边形的多边形，所以它的Schläfli符号是{6,3}。

还有其他的方法来描述多边形的翻转。当镶嵌细分为正多边形时，最常用的表示法是顶点配置，它只是一个顶点周围多边形边数的列表。方形平铺具有4.4.4.4或44的顶点配置。正六边形的平铺标记为6.6.6或6。

在数学中：
数学家在讨论分段时使用一些技术术语。边缘是两个边界瓦片之间的交点;它通常是一条直线。顶点是三个或更多边界瓦片的交点。使用这些术语，正交或顶点传递平铺是每个顶点相同的平铺;也就是说，关于每个顶点的多边形排列是相同的。基本区域是重复形成曲面细分的诸如矩形之类的形状。例如，正方形的平面棋盘格在每个顶点都有四个正方形的会议。

多边形的边不一定与瓷砖的边缘相同。边对边拼贴是任何多边形镶嵌，其中相邻拼贴仅共享一个完整边，即，不与任何其他拼贴共享部分边或多于一边。在边缘到边缘的平铺中，多边形的边和地砖的边缘是相同的。熟悉的“砖墙”瓷砖不是边对边的，因为每个矩形砖的长边与两块边墙砖共享。

正常的平铺是每个瓦片在拓扑上等同于盘的曲面细分，任何两个瓦片的交集是单个连接集合或空集合，并且所有瓦片是统一有界的。这意味着整个瓦片中的所有瓦片可以使用单个外接半径和单个内接半径;该条件不允许病理性长或薄的瓦片。

单面平铺是所有平铺全等的曲面细分;它只有一个prototile。一种特别有趣的单面镶嵌的类型是螺旋单面拼贴。第一个螺旋单面瓷砖是1936年由亨氏·沃德伯格（Heinz Voderberg）发现的。 Voderberg瓷砖有一个单位瓦片是非凸九宫格。 Hirschhorn瓷砖由Michael D. Hirschhorn和DC Hunt于1985年出版，是一种五边形瓷砖，用不规则五边形：正五边形不能平铺欧几里德平面，因为正五边形的内角3π/ 5不是2π的除数。

等瓦拼贴是单面拼贴的一种特殊变体，其中所有拼贴属于相同的传递类别，即所有拼贴是在平铺的对称组下面的相同原型的变换。如果一个原始细胞承认了一个平铺，但是没有这样的平铺是等面的，那么这个原始细胞被称为各向异性的并形成各向异性的平面。

规则镶嵌是一个高度对称的边缘到边缘的平铺，由规则的多边形组成，形状完全相同。只有三个规则镶嵌：由等边三角形，正方形或正六边形组成。所有这三个倾斜是正交和单面。

一些非周期性的分段比其他分段更少…换句话说，非周期性的程度可以量化。

这样，我们可以举出例如复发和均匀复发（或准周期性）的概念。

如果当一个图案（有限的一组图片）出现一次，则它出现在任何足够大的区域中。而且，如果可以根据图案的大小来确定这个区域的大小，那么铺路就是统一的反复（或准周期的）。

因此，如果我们考虑任何出现在平铺上的半径为r的圆上的图案，那么存在一个数R，这样我们就可以确信这个图案再现在半径R在路面上描绘。

特别是，周期性的投掷是一致的（反复发生）。彭罗斯铺地的情况也是如此。事实上，可以看出，如果一组瓦片铺平了平面，那么它也可以以均匀循环的方式铺平它（证明基于对角参数）。

半正则（或阿基米德）曲面细分使用正交排列中的多于一种类型的正多边形。有八个半规则的翻转（如果镜像对的翻转为两个，则翻转九个）。这些可以通过它们的顶点配置来描述;例如，使用正方形和正八边形的半规则平铺具有顶点配置4.82（每个顶点具有一个正方形和两个八边形）。欧几里德平面的许多非边缘到边缘的倾斜是可能的，包括毕达哥拉斯（Pythagorean）平面的家族，使用两个（参数化的）正方形尺寸的方格，每个正方形接触另一个尺寸的四个正方形。边镶嵌是其中每个瓦片可以在边缘上反射以占据相邻瓦片的位置的边界镶嵌，例如在等边或等腰三角形的阵列中。

在两个独立方向上具有平移对称性的倾斜可以被壁纸组分类，其中存在17个壁纸组。据称，这些团体中的所有十七人都代表西班牙格拉纳达的阿罕布拉宫。虽然这是有争议的，但是阿罕布拉分裂的多样性和复杂性让现代研究人员感到惊讶。在三个常规的平铺中，两个在p6m壁纸组中，一个在p4m中。二维平面上只有一个方向平移对称的顶点可以由描述可能的楣状图案的七个楣板组分类。 Orbifold符号可以用来描述欧几里德平面的壁纸组。

使用两个不同的四边形的彭罗斯拼图是强制创建非周期性图案的瓷砖的最有名的例子。它们属于非周期性的一般类别，它们使用不能周期性镶嵌的瓷砖。替代拼贴的递归过程是产生非周期性拼图的一种方法。一个可以用这种方式生成的类是rep-tiles;这些掀动具有令人惊讶的自我复制的特性。风车翻转是非周期性的，使用rep-tile结构;瓷砖出现在无数的方向。可以认为非周期性模式完全没有对称性，但事实并非如此。非周期性倾斜虽然缺乏平移对称性，但却有其他类型的对称性，无限重复了任何有界的平铺片，以及某些有限组的旋转或反射片。替代规则（例如可用于使用称为rhombs的拼贴组合来生成一些彭罗斯模式）说明缩放对称性。一个斐波纳契单词可以用来建立一个非周期性的平铺，并研究准晶体，这是非周期性的结构。

Wang瓷砖在每个边缘上都是正方形的，并且放置成使得相邻瓷砖的邻接边缘具有相同的颜色;因此他们有时被称为王牌多米诺骨牌。一套合适的王牌多米诺骨牌可以平铺飞机，但只能是不定期的。这是众所周知的，因为任何图灵机都可以表示为一套王牌多米诺骨牌，只要图灵机不停止就能平铺飞机。由于暂停问题是不可判定的，所以决定王牌多米诺骨牌是否可以平铺飞机的问题也是不可判定的。

Truchet瓷砖是用方式装饰的方形的瓦片，因此他们没有旋转对称;在1704年，塞巴斯蒂安·特鲁谢（SébastienTruchet）用一块方形瓷砖分成两个对比色的三角形。这些可以定期或随机平铺飞机。

有时瓦片的颜色被理解为瓦片的一部分;在其他时候可以随后应用任意颜色。在讨论以颜色显示的平铺时，为了避免模棱两可，需要指定颜色是平铺的一部分还是仅仅是其示例的一部分。这会影响具有相同形状但不同颜色的瓦片是否被认为是相同的，这又会影响对称性问题。四色定理指出，对于正常欧几里德平面的每一个细分，具有四种可用颜色的集合，每个瓷砖可以被着色成一种颜色，使得没有相同颜色的瓷砖在正长度的曲线上相遇。由四色定理所保证的着色通常不考虑曲面细分的对称性。为了产生一种颜色，有必要将颜色作为棋盘格的一部分进行处理。在这里，可能需要多达七种颜色，如右图所示。

除了通过正多边形的各种俯仰之外，还研究了其他多边形的俯仰。

任何三角形或四边形（甚至是非凸形）都可以用作原型来形成单面镶嵌，通常以多种方式。任意四边形的副本可以形成具有平移对称性和2倍旋转对称性的棋盘格，其中心位于所有边的中点。对于不对称的四边形，这块瓷砖属于壁纸组p2。作为基本的领域，我们有四边形。等同地，我们可以从一个旋转中心开始构建一个平行四边形，它由一组最​​小的平移向量组成。我们可以把它分成一个对角线，取一半（三角形）作为基本的域。这样的三角形面积与四边形相同，可以通过切割和粘贴来构建。

如果允许只有一种形状的瓦片，那么对于N等于3,4,5和6，存在具有凸N形状的分段。对于N = 5，见五角形瓦片，对于N = 6，见六角形瓦片。

有关使用多米诺霉素平铺平面的结果，请参见Polyomino§多米诺骨牌的用途。

Voronoi或Dirichlet分段是曲面细分，其中每个分块被定义为最接近离散定义点集中的一个点的一组点。 （将每个区域定义为最接近给定城市或邮局的所有点的地理区域。）每个定义点的Voronoi单元格是一个凸多边形。 Delaunay三角剖分是Voronoi镶嵌的对偶图。 Delaunay三角剖分在数值模拟中非常有用，部分原因是Delaunay三角剖分在定义点的所有可能的三角剖分中最大化由边缘形成的角度的最小值。用随机放置的点的Voronoi可以用来构造平面的随机俯仰。

镶嵌可以扩展到三个维度。某些多面体可以以规则的晶体图案堆叠以填充（或拼贴）三维空间，包括立方体（唯一的柏拉图多面体这样做），菱形十二面体，截顶八面体以及三角形，四边形和六角形棱镜等等。符合这个标准的任何多面体都被称为平面体（plesiohedron），并且可以拥有4到38个面。自然发生的菱形十二面体被发现是一种石榴石（一种石榴石）和萤石的晶体。

施瓦茨三角形是一个球形三角形，可用于平铺球体。

三维或更多维度的曲面被称为蜂窝。在三维中只有一个规则的蜂窝，每个多面体顶点有八个立方体。同样，在三维中只有一个准蜂窝状的蜂窝，每个多面体顶点有八个四面体和六个八面体。但是，在三维中有许多可能的半规则蜂窝。均匀的多面体可以使用Wythoff结构来构建。

施米特 – 康韦双棱镜是一种凸多面体，具有不平整空间的特性。

有可能在非欧几里德几何中进行曲面细分，如双曲几何。双曲平面（可以是规则的，准曲面的或半规则的）中的均匀平铺是双曲平面的边到边填充，正多边形作为面;这些是顶点传递（在其顶点传递），isogonal（有一个等角映射任何其他顶点）。

双曲空间中的均匀蜂窝是均匀多面体单元的均匀镶嵌。在三维双曲空间中，有九个Coxeter族紧致凸均匀蜂窝，由Wythoff构造产生，并由每个家族的Coxeter图的环排列表示。

在建筑：
在建筑方面，自古以来，镶嵌被用来制作装饰图案。马赛克拼图往往有几何图案。后来的文明也使用较大的瓷砖，无论是平原或个别装饰。一些最具装饰性的是伊斯兰建筑的摩尔式墙壁，在阿罕布拉和La Mezquita等建筑中使用Girih和Zellige瓷砖。

揉在伊斯坦布尔考古博物馆：地板也被称为铺面并非巧合：事实上，每一个可能的方式来覆盖形状瓷砖日期的地板只不过是一个流苏。这就是为什么瓷砖必须存在于历史上的大部分建筑物中。特别是，有色的销钉往往被视为活跃地板或墙壁的手段。

着名的流苏覆盖了格拉纳达阿罕布拉宫（Alhambra complex）的许多墙壁，这是阿拉伯艺术的成果和新生王朝的品味：阿拉伯人一直都是数学和几何学的伟大学者，这些知识也渗透到他们的艺术中，以至于阿拉伯风格仍然常用来表示几何装饰图案。

在艺术：
荷兰艺术家Maurits Cornelis Escher的大部分作品都是流苏，其点点通常是鱼，鸟，马，蝙蝠，还有拟人化的人物。埃舍尔不仅对实际上与他想要表现的动物类似的匕首的实现，而且对数学研究和点缀的编目投入了很多的注意，并将他与当时的数学家进行了比较。

从他的数学角度来看，他最大胆的作品可能就是那些他不是在一个普通的欧几里德（Euclidean）平面上，而是在非欧几里德（Euclidean）几何上排列的点。虽然这些不是正式点缀的（因为销钉不仅是重复的，而且是缩放的），基本的几何推理是相同的，适应于所选择的非欧几里德几何模型。例如，在着名的Circle Limit系列中，您可以识别HenriPoincaré研究的双曲线方案的假设。

“变形”系列也是值得注意的，在这个系列中，埃舍尔将长条不同的调光连接起来，与其他几何或手绘图案交替，从而也给出了这样一个想法，即销钉底部的简单几何规则在任何地方都存在，自然本身。

Tesler经常出现在M. C. Escher的图形艺术中;他在1936年访问西班牙时，受到阿尔罕布拉宫等摩尔人对称的启发。埃舍尔制作了四条使用双曲线几何的“圆形极限”图形。为了他的木刻“圆圈限制IV”（1960年），埃舍尔准备了一个铅笔和墨水研究显示所需的几何形状。埃舍尔解释说：“没有任何一个系列的组成部分，从无限远处如同火箭垂直上升到终点，并最终在火焰中消失，永远到达边界线。

镶嵌图案的设计通常出现在纺织品上，无论是编织，缝合还是印刷。镶嵌图案已被用于设计棉被中斑块形状的互锁图案。

镶嵌也是折纸（纸折叠）的主要类型，其中折叠用于以重复的方式将诸如扭曲褶皱的分子连接在一起。

在制造业：
在制造业中使用曲面细分（tessellation）以减少在切割汽车门或饮料罐之类物体的形状时诸如金属板之类的材料浪费（产量损失）。

Tessellation在薄膜的类似龟裂的开裂中显而易见 – 使用微观和纳米技术观察到一定程度的自组织。

在自然界：
蜂窝提供了一个众所周知的自然镶嵌六角形细胞的例子。

在植物学中，术语“棋盘格”描述了方格图案，例如在花瓣，树皮或果实上。包括贝母和一些秋水仙属物种在内的花朵具有镶嵌特征。

自然界中的许多图案是由材料片中的裂缝形成的。这些模式可以用吉尔伯特镶嵌来描述，也被称为随机裂纹网络。吉尔伯特镶嵌是一种形成泥裂，针状晶体和类似结构的数学模型。这个以埃德加·吉尔伯特（Edgar Gilbert）命名的模型允许从飞机上的随机散射开始形成裂缝;每个裂缝沿着通过起始点的一条直线在两个相反的方向上传播，随机选择它的斜率，形成不规则凸多边形的曲面细分。由于熔岩冷却时收缩力引起裂缝，玄武质的熔岩流经常显示出柱状连接。广泛的裂缝网络，往往产生六角形的熔岩柱。北爱尔兰的巨人堤道就是这样一列柱子的一个例子。在塔斯曼尼亚塔斯曼半岛的鹰头颈部发现了一个特征性的棋盘格路面，这是一个罕见的沉积岩层，岩石已经裂成了长方形的块。

泡沫中还会出现其他天然图案;这些都是根据高原的法律，这需要最小的表面包装。这样的泡沫在如何尽可能紧密地包装细胞方面存在问题：1887年，开尔文勋爵提出了仅使用一种固体的包装，具有非常略微弯曲的面的截头立方体蜂窝。 1993年，Denis Weaire和Robert Phelan提出了Weaire-Phelan结构，它使用较少的表面积来分离等于Kelvin泡沫体积的泡孔。

在谜题和娱乐数学：
Tessellations引起了许多类型的拼图拼图，从传统的拼图（不规则的木块或纸板）和七巧板到更现代的拼图，这些拼图经常有数学基础。例如，聚金刚石和多米诺骨牌是常规三角形和正方形的图形，通常用于拼图谜题中。亨利·杜德尼（Henry Dudeney）和马丁·加德纳（Martin Gardner）等作者在娱乐性数学中已经使用了镶嵌细分方法。例如，杜德尼发明了铰链解剖，而加德纳写了关于这个复制瓦片的形状，这个形状可以分解成相同形状的较小副本。在科学美国人的加德纳文章的鼓舞下，业余数学家马乔里·赖斯（Marjorie Rice）发现了四个五边形的新镶嵌曲面。对平方进行平方化是一个整数平方（只有一个整数长度的平方）的平铺问题，只使用其他积分平方。一个扩展是平面的平面，平铺它的大小都是自然数不重复，詹姆斯和弗雷德里克·亨勒证明这是可能的。